426 工程科学学报，第43卷，第3期 认为炉体始终保持稳定生产状态 Ok∈0,1，i,jeS,Yk∈L (31) (4)加热炉装钢，出钢操作时间为定值 目标函数(23)表示多台加热炉总燃料消耗量 3.2数学模型构建 最小.约束(24)表示每块钢坯只能分配给一台加 为便于描述，定义以下符号和参数 热炉加热.约束(25)表示每块钢坯在加热炉内的 (1)索引与集合.S为加热炉生产调度计划中 加热时间应不低于标准加热时间且不高于最大住 的钢坯集合，S={1,2,,i,,n以，其中n表示钢坯 炉时间.约束(26)表示板坯在热轧机组空闲前需 数.L表示加热炉集合，L={1,2,,k,,,其中 一直在炉内停留且热轧机组停机等待板坯的时间 1表示加热炉数量 不能过长.约束(27)表示在同一加热炉加热的钢 (2)问题参数.m,表示钢坯1的质量.ph表示 坯按照轧制顺序出炉.约束(28)表示在同一加热 钢坯i在加热炉中标准加热时间.Z表示钢坯i到 炉加热的钢坯按轧制顺序入炉，约束(29)表示每 达加热炉前缓冲区时刻.pd,表示钢坯i在加热炉 台加热炉同时加热的钢坯数不得超过其炉容量 中的最大住炉时间.pr,表示钢坯i在热轧机上的 约束(30)和约束(31)表示决策变量和O脉的取 轧制时间.T,表示钢坯i从等候区域输送至加热 值范围 炉的传输时间.T2,表示钢坯1从加热炉输送至热 3.3评价参数构建 轧机的传输时间.P:表示第一块进人加热炉k的 分析每块钢坯在加热炉区停留的时间可知， 钢坯序号.9k表示最后一块离开加热炉k的钢坯 由于加热炉的出钢顺序受轧制计划的约束，因此 序号.b:表示钢坯i入炉时温度.1，表示在同一加 每块钢坯从出炉至输送到热轧机上的时间间隔较 热炉中，排在钢坯i后第C块(C为加热炉炉容)入 固定；但另外两部分时间（入炉前等待时间，炉内 炉加热的钢坯号.ε表示热轧机最大空转等待时 加热时间)由于受到上游连铸出坯时间、加热炉炉 间.6min表示同一加热炉加热的相邻钢坯的最小 容量、轧制计划等制约，往往波动性较大.因此有 入炉时间间隔.Y表示一个足够大正数.△o表示 必要探究这两部分时间的变化同加热炉燃料消耗 加热炉装钢，出钢的操作时间. 量的关系.殷瑞钰提出用“连续化程度”这一物 (3)决策变量.为二元变量，如果钢坯i在 流指标来衡量各工序匹配程度，本文考虑加热炉 加热炉k中加热该值记为1，其他情形为0.b:表示 调度实际，引入加热匹配系数4和等待匹配系数 钢坯i的入炉时间.d,表示钢坯i的出炉时间. 两个评价参数，分别衡量一个调度计划内所有 O狱为三元变量，如果钢坯j紧随钢坯1装入加热 钢坯炉内加热时间和炉前等待时间同理想生产时 炉k中加热该值为1，其他情形为0 间的差距，并分析二者对燃料消耗量的影响规律， 基于上述参数，变量的定义，构建加热炉调度 山1和2计算公式分别为式(32)和(32) 的整体数学模型： ∑d-b) miA-micme.bt++ ieS 1= (32) ∑ph A4∑∑Yu(dat-bp) (23) kel ies ∑b-Z) 2= (33) a=l,ies (24) ∑p kEL i ph≤d-b:≤pd,YieS (25) 3.4算法求解 0≤di+l-d-pr,≤s,i∈S (26) 差分进化算法(Differential evolution algorithm) 是一种随机的启发式搜索算法，凭借其编程简便， d-d:-T2+Y3-Y-yk-0x)≥0，i,jeS,k∈L (27) 收敛速度快，寻优能力强町等优势，已连续多年在 进化计算大会(CEC)竞赛中跻身前3名6，并且在 bj-bi-T1+Y3-Yik-Yik-Oijk)6min.Vi.jES,VkEL 模式识别)、工业控制8-1y、函数优化20-2等诸多 (28) 领域获得广泛应用.特别是在钢铁生产领域，差分 bu,≥d,ieS (29) 进化算法已被成功用于解决企业订单重调度四 y∈{0，l,YieS,VkeL (30) 钢卷配载规划2)、加热炉操作优化P等实际问题认为炉体始终保持稳定生产状态. （4）加热炉装钢，出钢操作时间为定值. 3.2    数学模型构建 为便于描述，定义以下符号和参数 ,··· ,··· ,··· ,··· （1）索引与集合. S 为加热炉生产调度计划中 的钢坯集合，S={1, 2 , i , n}，其中 n 表示钢坯 数. L 表示加热炉集合，L={1, 2 , k , l}，其中 l 表示加热炉数量. （2）问题参数. mi 表示钢坯 i 的质量. phi 表示 钢坯 i 在加热炉中标准加热时间. Zi 表示钢坯 i 到 达加热炉前缓冲区时刻. pdi 表示钢坯 i 在加热炉 中的最大住炉时间. pri 表示钢坯 i 在热轧机上的 轧制时间. T1i 表示钢坯 i 从等候区域输送至加热 炉的传输时间. T2i 表示钢坯 i 从加热炉输送至热 轧机的传输时间. pk 表示第一块进入加热炉 k 的 钢坯序号. qk 表示最后一块离开加热炉 k 的钢坯 序号. tbi 表示钢坯 i 入炉时温度. Ii 表示在同一加 热炉中，排在钢坯 i 后第 C 块（C 为加热炉炉容）入 炉加热的钢坯号. ε 表示热轧机最大空转等待时 间. δmin 表示同一加热炉加热的相邻钢坯的最小 入炉时间间隔. Y 表示一个足够大正数. Δt0 表示 加热炉装钢,出钢的操作时间. （3）决策变量. γik 为二元变量，如果钢坯 i 在 加热炉 k 中加热该值记为 1，其他情形为 0. bi 表示 钢 坯 i 的入炉时间 . di 表示钢 坯 i 的出炉时间 . Oijk 为三元变量，如果钢坯 j 紧随钢坯 i 装入加热 炉 k 中加热该值为 1，其他情形为 0. 基于上述参数，变量的定义，构建加热炉调度 的整体数学模型： MinA1   ∑ i∈S miA2 − ∑ i∈S micme,tbi ·tbi +2A3n∆t0+ A4 ∑ k∈L ∑ i∈S γik(dqk −bpk )   （23） ∑ k∈L γik = 1,∀i ∈ S （24） phi ⩽ di −bi ⩽ pdi ,∀i ∈ S （25） 0 ⩽ di+1 −di −pri ⩽ ε,∀i ∈ S （26） dj −di −T2 +Y ( 3−γik −γjk −Oi jk) ⩾ 0,∀i, j ∈ S,∀k ∈ L （27） bj −bi −T1 +Y ( 3−γik −γjk −Oi jk) ⩾δmin,∀i, j∈S,∀k∈L （28） bIi ⩾ di ,∀i ∈ S （29） γik ∈ {0,1},∀i ∈ S,∀k ∈ L （30） Oi jk ∈ {0,1},∀i, j ∈ S,∀k ∈ L （31） 目标函数（23）表示多台加热炉总燃料消耗量 最小. 约束（24）表示每块钢坯只能分配给一台加 热炉加热. 约束（25）表示每块钢坯在加热炉内的 加热时间应不低于标准加热时间且不高于最大住 炉时间. 约束（26）表示板坯在热轧机组空闲前需 一直在炉内停留且热轧机组停机等待板坯的时间 不能过长. 约束（27）表示在同一加热炉加热的钢 坯按照轧制顺序出炉. 约束（28）表示在同一加热 炉加热的钢坯按轧制顺序入炉. 约束（29）表示每 台加热炉同时加热的钢坯数不得超过其炉容量. 约束（30）和约束（31）表示决策变量 γik 和 Oijk 的取 值范围. 3.3    评价参数构建 分析每块钢坯在加热炉区停留的时间可知， 由于加热炉的出钢顺序受轧制计划的约束，因此 每块钢坯从出炉至输送到热轧机上的时间间隔较 固定；但另外两部分时间（入炉前等待时间，炉内 加热时间）由于受到上游连铸出坯时间、加热炉炉 容量、轧制计划等制约，往往波动性较大. 因此有 必要探究这两部分时间的变化同加热炉燃料消耗 量的关系. 殷瑞钰[14] 提出用“连续化程度”这一物 流指标来衡量各工序匹配程度，本文考虑加热炉 调度实际，引入加热匹配系数 μ1 和等待匹配系数 μ2 两个评价参数，分别衡量一个调度计划内所有 钢坯炉内加热时间和炉前等待时间同理想生产时 间的差距，并分析二者对燃料消耗量的影响规律， μ1 和 μ2 计算公式分别为式（32）和（32）. µ1 = ∑ i∈S (di −bi) ∑ i∈S phi （32） µ2 = ∑ i∈S (bi −Zi) ∑ i∈S phi （33） 3.4    算法求解 差分进化算法（Differential evolution algorithm） 是一种随机的启发式搜索算法，凭借其编程简便， 收敛速度快，寻优能力强[15] 等优势，已连续多年在 进化计算大会（CEC）竞赛中跻身前 3 名[16] ，并且在 模式识别[17]、工业控制[18−19]、函数优化[20−21] 等诸多 领域获得广泛应用. 特别是在钢铁生产领域，差分 进化算法已被成功用于解决企业订单重调度[22]、 钢卷配载规划[23]、加热炉操作优化[24] 等实际问题. · 426 · 工程科学学报，第 43 卷，第 3 期