闫祺等：基于改进差分进化算法的加热炉调度方法 427 为避免差分进化算法的种群在迭代过程中易 式中，CR为个体i所对应的交叉概率，其计算流 出现的早熟现象，减轻算法参数调试的工作量， 程如下： Ghosh等2在差分进化算法(DE)的基础上开发 比较变异向量V,和原始向量X的适应度函 了FiADE(Fitness-adaptive DE)算法，它可根据每代 数值，如果V)<Xe),执行(40)式，否则执行 种群个体的适应度函数值变化，对DE算法的缩放 (41)式 因子、交叉概率动态调整，平衡算法的开发和探索 CRi=CRconst (40) 能力P阿本文以FiADE算法作为主体求解算法，同 CRmax-CRmin 时为提高算法寻优效率，对种群中表现较优的个 CRj=CRmin+1+lf(V)-f(Xbes)l (41) 体进一步执行禁忌搜索.算法整体流程如图4所 示.其主要步骤如下： 式中，CRconst,CRmins,CRmax为设定的参数 (4)选择操作. (1)初始化种群 种群采用实数编码，随机产生Np个D维解向 比较原始个体XE和经变异，交叉操作后所得 量X={x,…xP,i=l,…,Np,D为决策变量个数， 新个体UE的适应度函数值，以(42)式进行选择， Np为种群数.各决策变量分布在其上边界Xmm= 优者进入下一轮循环，弱者淘汰出局 {xa,…ax}和下边界Xma={ax…hax}构成的 「Ui.Eiff(Ui.E）≤f(X.E) XiE+1= (42) 解空间中，计算公式如(34)所示： XiE otherwise min +rand(0.1)(max-min) (34) (5)禁忌搜索 选择操作结束后，对新生成的子代个体，按照 rand(0,1)指[0,1]之间服从均匀分布的随机数， 适应度函数值由小到大进行排序，并选择前10% xd中的0指此时种群处于初始代 的优良个体执行禁忌搜索.具体步骤如下： (2)变异操作. 步骤1：设定算法运行的各输入参数，即候选 对种群中的每个目标向量X,E(E表示算法运 解个数、禁忌表长度、迭代次数、初始解等，初始 行至第E代)执行差分变异操作(35)，生成的变异 禁忌表为空，同时将初始解设为历史最优解 向量记为'c呢c] 步骤2：对当前解进行局部搜索生成候选解， ViE=XAE+F:(X4E-XAE)+F:(XAE-XAE) 并计算每个候选解的适应度函数值 (35) 步骤3：判断每个候选解是否属于禁忌且选出 式中，下标r,r2,r,r4,rs为随机抽取的位于[1， 适应度函数值最优的候选解 Np]之间的不同于i的个体序号，F,为个体i所对应 步骤4：比较最优候选解与历史最优解的适应 的缩放因子，其计算流程如下 值大小，若优于历史最优解则执行步骤5，否则执 Stepl:计算F,对于每个个体X, 行步骤6. F1=Fmax △fi (36) 步骤5：忽略最优候选解的禁忌状态，将其作 dcon+△f 为新的历史最优解和当前解，加入禁忌表中，并更 式中，△X)-Xe儿，X,s为当前种群中适应度 新禁忌表的状态，执行步骤7 最低的个体，on=0.l△+l04,Fmax为给定的参数. 步骤6：在候选解中选择非禁忌的最优适应度 Step2:计算F2,对于每个个体X 函数值的解，将其作为当前解并加入禁忌表中，更 F2=Fmax（1-eaf) (37) 新禁忌表的状态，执行步骤7. Step3:计算F; 步骤7：判断是否达到最大迭代次数，若达到 执行步骤8，否则迭代次数加一并返回步骤2 Fi=max (F1,F2) (38) (3)交叉操作 步骤8：输出历史最优解 将目标向量X,E和其对应的变异向量VE执行 4算例验证及讨论 交叉策略，新生成的个体记为U={uE,e鼎E, 4.1模型及算法参数设置 个体i中第j个点计算公式为 为验证本文所提方法在降低加热炉生产能耗 if rand(O,l)≤CR .G= (39) 方面的效果，以国内某热轧厂生产线实际数据建 otherwise 立数学模型，该模型包含3台并行布置且容量相为避免差分进化算法的种群在迭代过程中易 出现的早熟现象，减轻算法参数调试的工作量， Ghosh 等[25] 在差分进化算法（DE）的基础上开发 了 FiADE（Fitness-adaptive DE）算法，它可根据每代 种群个体的适应度函数值变化，对 DE 算法的缩放 因子、交叉概率动态调整，平衡算法的开发和探索 能力[26] . 本文以 FiADE 算法作为主体求解算法，同 时为提高算法寻优效率，对种群中表现较优的个 体进一步执行禁忌搜索. 算法整体流程如图 4 所 示. 其主要步骤如下： （1）初始化种群. ,··· ,··· x 1 max,···x D max x 1 max,··· x D max 种群采用实数编码，随机产生 NP 个 D 维解向 量 Xi={xi 1 xi D }，i = 1 ，NP，D 为决策变量个数， NP 为种群数. 各决策变量分布在其上边界 Xmin= { }和下边界 Xmax={ }构成的 解空间中，计算公式如（34）所示： x j i,0 = x j min +rand(0,1)· ( x j max − x j min) （34） rand(0, 1) 指 [0, 1] 之间服从均匀分布的随机数， xi,0 j 中的 0 指此时种群处于初始代. （2）变异操作. v 1 i,G ,···v D i,G 对种群中的每个目标向量 Xi,E（E 表示算法运 行至第 E 代）执行差分变异操作（35），生成的变异 向量记为 Vi,E=[ ] Vi,E = Xr i 1 ,E + Fi · ( Xr i 2 ,E − Xr i 3 ,E ) + Fi · ( Xr i 4 ,E − Xr i 5 ,E ) （35） 式中，下标 r1 i ，r2 i ，r3 i ，r4 i ，r5 i 为随机抽取的位于 [1, NP ] 之间的不同于 i 的个体序号，Fi 为个体 i 所对应 的缩放因子，其计算流程如下 Step1：计算 F1，对于每个个体 Xi， F1 = Fmax · ( ∆fi λcon + ∆fi ) （36） 式中，∆f i=|f(Xi )‒f(Xbest)|，Xbest 为当前种群中适应度 最低的个体，λcon = 0.1·∆f i + 10−14 ，Fmax 为给定的参数. Step2：计算 F2 ,对于每个个体 Xi F2 = Fmax · ( 1−e −∆fi ) （37） Step3：计算 Fi Fi = max(F1,F2) （38） （3）交叉操作. u 1 i,E u 2 i,E ,··· u D i,E u j i,E 将目标向量 Xi,E 和其对应的变异向量 Vi,E 执行 交叉策略，新生成的个体记为 Ui,E={ ， , }， 个体 i 中第 j 个点 计算公式为 u j i,G =    v j i,E if rand(0,1) ⩽ CRi x j i,E otherwise （39） 式中，CRi 为个体 i 所对应的交叉概率，其计算流 程如下： 比较变异向量 Vi 和原始向量 Xbest 的适应度函 数值，如果 f(Vi ) < f(Xbest)，执行（40）式，否则执行 （41）式. CRi = CRconst （40） CRi = CRmin + CRmax −CRmin 1+| f (Vi)− f (Xbest)| （41） 式中，CRconst，CRmin，CRmax 为设定的参数. （4）选择操作. 比较原始个体 Xi,E 和经变异，交叉操作后所得 新个体 Ui,E 的适应度函数值，以（42）式进行选择， 优者进入下一轮循环，弱者淘汰出局. Xi,E+1 = { Ui,E if f ( Ui,E ) ⩽ f ( Xi,E ) Xi,E otherwise （42） （5）禁忌搜索. 选择操作结束后，对新生成的子代个体，按照 适应度函数值由小到大进行排序，并选择前 10% 的优良个体执行禁忌搜索. 具体步骤如下： 步骤 1：设定算法运行的各输入参数，即候选 解个数、禁忌表长度、迭代次数、初始解等，初始 禁忌表为空，同时将初始解设为历史最优解. 步骤 2：对当前解进行局部搜索生成候选解， 并计算每个候选解的适应度函数值. 步骤 3：判断每个候选解是否属于禁忌且选出 适应度函数值最优的候选解. 步骤 4：比较最优候选解与历史最优解的适应 值大小，若优于历史最优解则执行步骤 5，否则执 行步骤 6. 步骤 5：忽略最优候选解的禁忌状态，将其作 为新的历史最优解和当前解，加入禁忌表中，并更 新禁忌表的状态,执行步骤 7. 步骤 6：在候选解中选择非禁忌的最优适应度 函数值的解，将其作为当前解并加入禁忌表中，更 新禁忌表的状态，执行步骤 7. 步骤 7：判断是否达到最大迭代次数，若达到 执行步骤 8，否则迭代次数加一并返回步骤 2. 步骤 8：输出历史最优解. 4    算例验证及讨论 4.1    模型及算法参数设置 为验证本文所提方法在降低加热炉生产能耗 方面的效果，以国内某热轧厂生产线实际数据建 立数学模型，该模型包含 3 台并行布置且容量相 闫    祺等： 基于改进差分进化算法的加热炉调度方法 · 427 ·