习题5.4函数的 Tay lor公式及其应用 1.求下列函数在x=0处的 Taylor公式(展开到指定的n次) 4 (2)f(x)=cos(x+a),n=4; (3)f(x)=√2+sinx,n=3 (4)f(x)=sinr, n= 4 (5)f(x)=tanx, n=5 (6)f(x)=In(cosx), n=6 x≠0 sIn x (7)f(x)={ex-1 4(8)f(x)= ,x≠0 (9)f(x)=√1-2x+x3-Ⅵ1-3x+x2,n=3 解(1)f(x) }-} c(x4) 32.96·2724.8 243 x2+o(x4)。 (2)f(x)=cos(x+a)=cos x cosa-sinxsina (--+m+o(x))cosa-(x-+o(x))sin a 24 sin a cosa cosa- sind.x- 4x+o(x)。 (3)(x)=√2+smx=121+mx)=√2+(x-x+(x) 1+ +O(x3) (x-g+or)+、1 168-6+o(x2)1习 题 5.4 函数的 Taylor 公式及其应用 ⒈ 求下列函数在 x = 0处的 Taylor 公式（展开到指定的n次）： ⑴ f x x ( ) = − 1 13 , n = 4 ; ⑵ f x( ) = cos(x + α) , n = 4 ; ⑶ f x( ) = + 2 sin x , n = 3; ⑷ f x x ( ) esin = , n = 4 ; ⑸ f (x) = tan x , n = 5; ⑹ f x( ) = ln(cos x), n = 6 ; ⑺ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = − 1, 0 , 0 ( ) e 1 x x x f x x , n = 4 ⑻ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = 0, 0 , 0 sin ln ( ) x x x x f x , n = 4 ⑼ f x( ) = −1 2x + x − 1 − 3x + x 3 2 3 , n = 3. 解（1） f x x ( ) = − 1 13 2 3 4 1 1 1 1 1 ( 3 3 ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( 1 2 3 4 4 x x x x ) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = + − + − + − + − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ D x 1 4 2 3 28 280 4 1 ( 3 2 9 6 27 24 81 4 = + x + x x + + x + ) ⋅ ⋅ ⋅ D x 1 2 2 3 14 35 4 1 ( 3 9 81 243 4 = + x + x x + + x + D x )。 （2） f x( ) = + cos(x α) = cos x x cosα −sin sinα 2 4 3 4 4 (1 ( )) cos ( ( ))sin 2 24 6 x x x = − + + o x α − x − + o x α = cos 2 3 s 4 in cos cos sin ( ) 2! 3! 4! 4 x x x x o x α α α α α − ⋅ − + + + 。 （3） f x( ) = + 2 sin x sin 2(1 ) 2 x = + 3 1 3 2 1 2[1 ( ( ))] 2 6 x = + x o − + x 120 3 3 3 1 1 3 3 1 1 2 1 1 2[1 ( ( )) ( ( )) ( ( )) ] 2 2 6 8 4 6 16 8 6 x x x = + ⋅ −x o + x − ⋅ −x + o x + ⋅ x o − + x 3 3