定理3换个说法就是,任一复数的对称矩阵合同于一个形式为 0 的对角矩阵从而有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等 设∫(x1,x2,…x)是一实系数的二次型由本章定理1,经过某一个非退化线 性替换,再适当排列文字的次序,可使∫(x,x2,…,xn)变成标准形 dy2+d2y2+…+dny2 d (4) 其中d1>0,i=1,2,…Fr是∫(x12x2…x)的矩阵的秩因为在实数域中,正实数 总可以开平方,所以再作一非退化线性替换 VI (4)就变成 (6) (6)就称为实二次型∫(x1,x2…xn)的规范形显然规范形完全被r,p这两个数所 决定 定理4任意一个实数域上的二次型,经过一适当的非退化线性替换可以变 成规范形,且规范形是唯一的 这个定理通常称为惯性定理 定义3在实二次型f(x1,x2,…xn)的规范形中,正平方项的个数p称为 f(x1,x2…xn)的正惯性指数:负平方项的个数r-p称为f(x1,x2…xn)的负惯定理 3 换个说法就是，任一复数的对称矩阵合同于一个形式为                     0 0 1 1   的对角矩阵.从而有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等. 设 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 是一实系数的二次型.由本章定理 1，经过某一个非退化线 性替换，再适当排列文字的次序，可使 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 变成标准形 , 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 p p p p r r d y + d y + + d y − d y − − d y  + +  (4) 其中 d i r r i  0, =1,2,  , ; 是 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数 总可以开平方，所以再作一非退化线性替换              = = = = + + , , , 1 , 1 1 1 1 1 1 n n r r r r r y z y z z d y z d y   (5) (4) 就变成 , 2 2 1 2 2 2 2 1 p p r z + z + + z − z − − z  +  (6) (6)就称为实二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 的规范形.显然规范形完全被 r, p 这两个数所 决定. 定理 4 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变 成规范形，且规范形是唯一的. 这个定理通常称为惯性定理. 定义 3 在实二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 的规范形中，正平方项的个数 p 称为 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 的正惯性指数；负平方项的个数 r − p 称为 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 的负惯