§3唯一性 经过非退化线性替换,二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵由第四章§4 定理4,合同的矩阵有相同的秩,这就是说,经过非退化线性替换后,二次型矩 阵的秩是不变的标准形的矩阵是对角矩阵,而对角矩阵的秩就等于它对角线上 不为零的平方项的个数因之,在一个二次型的标准形中,系数不为零的平方项 的个数是唯一确定的,与所作的非退化线性替换无关,二次型矩阵的秩有时就称 为二次型的秩 至于标准形中的系数,就不是唯一确定的在一般数域内,二次型的标准形 不是唯一的,而与所作的非退化线性替换有关 下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题 设∫(x12x2…x)是一个复系数的二次型,由本章定理1,经过一适当的非 退化线性替换后,∫(x1,x2…x)变成标准形,不妨假定化的标准形是 d1y2+d2y2+…+d,y2,d1≠0,=1,2,…,r (1) 易知r就是∫(x1,x2…x)的矩阵的秩因为复数总可以开平方,再作一非退化线 性替换 y+1=2r+1 (1)就变成 21+二+… (3)就称为复二次型∫(x1,x2…xn)的规范形显然,规范形完全被原二次型矩阵的 秩所决定,因此有 定理3任意一个复系数的二次型经过一适当的非退化线性替换可以变成规 范形,且规范形是唯一的.§3 唯一性 经过非退化线性替换，二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵.由第四章§4 定理 4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过非退化线性替换后，二次型矩 阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对角矩阵，而对角矩阵的秩就等于它对角线上 不为零的平方项的个数.因之，在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项 的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩有时就称 为二次型的秩. 至于标准形中的系数，就不是唯一确定的.在一般数域内，二次型的标准形 不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关. 下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题. 设 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 是一个复系数的二次型，由本章定理 1，经过一适当的非 退化线性替换后， ( , , , ) 1 2 n f x x  x 变成标准形，不妨假定化的标准形是 d y d y d y d i r r r i , 0, 1,2, , 2 2 2 2 2 1 1 + ++  =  . (1) 易知 r 就是 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 的矩阵的秩.因为复数总可以开平方，再作一非退化线 性替换              = = = = + + , , , 1 , 1 1 1 1 1 1 n n r r r r r y z y z z d y z d y   (2) (1)就变成 2 2 2 2 1 r z + z ++ z (3) (3)就称为复二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 的规范形.显然，规范形完全被原二次型矩阵的 秩所决定，因此有 定理 3 任意一个复系数的二次型经过一适当的非退化线性替换可以变成规 范形，且规范形是唯一的