《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 证：令F-y,则F)eC),由积分中值公式（13.5e克，使程 2本=2F(x本=2F(传)片F(5) 又注意到F(eC5),在，)可导，且 F(⑤)=2f(x=f(=f)=F 由洛尔定理，至少存在一点”∈(x,),使得 F()=f()+nf'()=0 的6、更期-0 运，设eG0】间=re0,具的不夜专.由多-东约中定 5∈0,1，使得 =r= 故 =本=a+an0 1 例6、证明：若函数f(冈eCa,非负，且∈a,月，使f(G)>0, 则心f本>0 证不给段，由子0在盘4处连签，取华，0 2 36>0-dx+)c(a,b刎，当x∈U,时，有 (x)-() 2 即 << x∈U,8) 于是由定积分的可加性质（性质4）和单调性质（性质6），有 《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 9 证：令 F x xf x ( ) = ( ) ，则 F x C ( ) 0,1 ，由积分中值公式（13）， 1 [0, ] 2   ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 0 0 1 2 2 2 2 xf x dx F x dx F F = = =     又注意到 F x C ( ) ,1 ，在 ( ,1)  可导，且 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 F xf x dx f f F  = = = = 2 1 1 1 1  由洛尔定理，至少存在一点  ( ,1) x ，使得 F f f   (    ) = + = ( ) ( ) 0 例 5、 证明 1 0 lim 0 1 n n x dx → x = +  。 证：设 ( ) 1 [0,1] 1 f x C x =  + ， ( ) [0,1] n g x x C =  ，且 g x( ) 不变号，由第一积分中值定理，   [0,1] ，使得 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 n x n dx x dx x n   = = + + + +   故 1 0 1 lim lim 0 1 (1 )( 1) n n n x dx → → x n  = = + + +  例 6、 证明：若函数 f x C a b ( )  ,  ，非负，且   x a b 0  ,  ，使 f x( 0 )  0， 则 ( ) 0 b a f x dx   证 ： 不妨设 x a b 0 ( , ) ，由于 f x( ) 在 点 0 x 处连续，取 ( 0 ) 0 2 f x  =  ， 0 0   − +     0(( , ) ( , )) x x a b ，当 0 x U x  ( , )  时，有 ( ) ( ) ( 0 ) 0 2 f x f x f x −  =  即 ( ) ( ) 0 0 3 ( ) 2 2 f x f x   f x 0 x U x  ( , )  于是由定积分的可加性质（性质 4）和单调性质（性质 6），有