《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 M=mif(x},则 mg(x)≤f(x)g(x)≤MB(x) x∈[a,b] 根据性质5，有 mgx≤∫fx)gxh≤M心gx (16) 由性质5的推论2，有8x本≥0.如果这个积分为0，由不等式（12推知 心fx)gx=0 此时，对任意的5[a,),均有式(11)成立：如果这个积分大于0，则对式(12)两端同除以 该积分值以后，得m≤f)g(达/g达≤M 再由闭区间上连续函数的性质，在a,上至少存在一点5， 使f9=r)gx广g达 即 心f)gxd=f5心gxt 特别，如果)=1，由性质3.7得： 推论4：若函数fy∈C[a,], 则在【a小上至少存在一点5，使得 图3. ∫心f(x本=f⑤b-a) (17) 式(13)通常称为积分中值公式。对此可作如下几何解释：若函数f()eC[a,月，且()≥0 那么如图3.1所示，积分 fx本 表示曲线y=f()下面曲线梯形BCD的面积，而积分中值公式说明， 它等于同底但高为(5)的矩形BF的面积。（份）称为f(~在[a,)上的平均值。 例：设函数)eC0在(0l)可微，且f0-2体，求证 3ne0,),使得f()+n/()=0《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 8 min{ ( )} a x b M f x   = ，则 mg x f x g x Mg x ( )   ( ) ( ) ( ) x a b [ , ] 根据性质 5，有 ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a m g x dx f x g x dx M g x dx      （16） 由性质 5 的推论 2，有 ( ) 0 b a g x dx   。如果这个积分为 0 ，由不等式（12）推知 ( ) ( ) 0 b a f x g x dx =  此时，对任意的  [ , ] a b ，均有式（11）成立；如果这个积分大于 0 ，则对式（12）两端同除以 该积分值以后，得 ( ) ( ) / ( ) b b a a m f x g x dx g x dx M     再由闭区间上连续函数的性质，在 [ , ] a b 上至少存在一点  ， 使 ( ) ( ) / ( ) ( ) b b a a f f x g x dx g x dx  =   即 ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x g x dx f g x dx =    特别，如果 g x( ) 1 = ，由性质 3.7 得： 推论 4：若函数 f x C a b ( )  , ， 则在 a b,  上至少存在一点  ，使得 ( ) ( )( ) b a f x dx f b a = −   （17） 式（13）通常称为积分中值公式。对此可作如下几何解释：若函数 f x C a b ( )  ,  ，且 f x( )  0 ， 那么如图 3.1 所示，积分 ( ) b a f x dx  表示曲线 y f x = ( ) 下面曲线梯形 ABCD 的面积，而积分中值公式说明， 它等于同底但高为 f ( ) 的矩形 ABEF 的面积。 f ( ) 称为 f x( ) 在 a b,  上的平均值。 例 4：设函数 f x C ( ) 0,1 在（ 0,1 ）可微，且 ( ) ( ) 1 2 0 f xf x dx 1 2 =  ，求证   (0,1) ，使得 f f (   ) + = ( ) 0