《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 3) 正：2eR,则函数[/(+g(订≥0，xela个，根据推论3，有 [f)+g(=心f产（本+2fg(x)+心g(6x本≥0 其判别式 4fg)-4产(*g2*≤0 即 f)g()本≤fr产Cg(*月 利用柯西不等式(13)，可推出如下闵可夫斯基(Minkowski18611909德国数学家)不等 式 [)+ga≤r(+g6月 (14) 事实上 [f)+g(订=f产(x本+2心fg(x)+心（本≤ f(+2r(Cg+ g(= r(e*+Cge月 从而有不等式(14)成立。 性质7（积分第一中值定理D:若函数f(:∈C[a,6,函数8(）在区间a,上可积且不变 号，则在【，上至少存在一点5，使得 f)g()=f传)心s) (15) 证：首先由性质4，函数乘积f86)ea,。不妨设f)≥0。记m=m盟/} 《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 7 3） 证：   R ，则函数 ( ) ( ) 2    f x g x +  0   ， x a b  ,  ，根据推论 3，有 ( ) ( ) b 2 a    f x g x dx + =    ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 b b b a a a   f x dx f x g x dx g x dx + +     其判别式 ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) 2 2 2 4 4 0 b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx −     即 ( ) ( ) b a f x g x dx   ( ( ) ) ( ( ) ) 1 1 2 2 2 2 b b a a f x dx g x dx   利用柯西不等式（13），可推出如下闵可夫斯基（Minkowski 1861~1909 德国数学家）不等 式 ( ( ) ( ) ) 1 2 2 b a   f x g x dx +     ( ( ) ) ( ( ) ) 1 1 2 2 2 2 b b a a f x dx g x dx +   （14） 事实上 ( ) ( ) b 2 a   f x g x dx + =    ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 b b b a a a f x dx f x g x dx g x dx + +     ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) 1 1 2 2 2 2 2 2 b b b a a a f x dx f x dx g x dx + +    ( ) 2 b a g x dx =  ( ( ) ) ( ( ) ) 2 1 1 2 2 2 2 b b a a f x dx g x dx     +       从而有不等式（14）成立。 性质 7（积分第一中值定理）： 若函数 f x( ) C a b  ,  ，函数 g x( ) 在区间 a b,  上可积且不变 号，则在 a b,  上至少存在一点  ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x g x dx f g x dx =    （15） 证：首先由性质 4，函数乘积 f x g x R a b ( ) ( ) [ , ]  。不妨设 f x( ) 0  。记 min{ ( )} a x b m f x   =