《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 属段内e,则r0=c0,引数心省 故 ss0=1 于是有 zoisfeus 例2、若函数f(四在[0上可积且单调减少，求证：ae(0,),有 af(x)≤f(x)dk 证：a∈(0，)，由于函数f)是单调递减的，有f()2f儿@，x0,d,于是根据性质 6,有 f(a)≤f(x) 或 If()dzf(a) (11) 另一方面f(四sf(@,xea,有 ∫f(x)ds∫f(a)k 或 ar回 12) 结合式(11)和(12)，得 areh≤for aff(x)dxs(1-a)f(x)dx=[f(x)dx-a["f(x)dx 或 a()ds+r()ds)-r()ds 再根据定积分的可加性质，有 f)≤f) 例3、设函数f()、8)eRa,),求证柯西不等式 f)g)s(r产g(*月 (1 6《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 6 解： 设 f x( ) = 2 x e − ，则 ( ) 2 2 0 x f x xe−  = −  ， 1 0, 2 x        ，故 f x( ) 严格单调减少 故 1 4 e − ( ) ( ) 1 0 1 2 f f x f   =   =     于是有 2 1 1 4 2 0 1 1 2 2 x e e dx − −    例 2、若函数 f x( ) 在 0,1 上可积且单调减少，求证：  a (0,1) ，有 ( ) ( ) 1 0 0 a a f x dx f x dx    证：  a (0,1) ，由于函数 f x( ) 是单调递减的，有 f x f a ( )  ( )， x a 0,  ，于是根据性质 6，有 ( ) ( ) 0 0 a a f a dx f x dx    或 ( ) ( ) 0 1 a f x dx f a a   （11） 另一方面 f x f a ( )  ( )， x a  ,1 ，有 ( ) ( ) 1 1 a a f x dx f a dx    或 ( ) ( ) 1 1 1 a f x dx f a a  −  （ 12） 结合式（11）和（12），得 ( ) ( ) 1 1 1 a f x dx f a a  −  ( ) 0 1 a f x dx a   或 ( ) ( ) ( ) 1 0 1 a a a f x dx a f x dx  − =   ( ) 0 a f x dx  ( ) 0 a −a f x dx  或 ( ( ) ( ) ) ( ) 1 0 0 a a a a f x dx f x dx f x dx + =    再根据定积分的可加性质，有 ( ) ( ) 1 0 0 a a f x dx f x dx    例 3、设函数 f x( )、 g x( ) R a b  ,  ，求证柯西不等式 ( ) ( ) b a f x g x dx   ( ( ) ) ( ( ) ) 1 1 2 2 2 2 b b a a f x dx g x dx   （1