《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 心f本≤g(x)* (7) 由定积分的定义1.1很容易看出性质5的正确性。 推论2：若函数f()ea,且m≤f)sM,xe[a,则 m(b-a)sf(x≤M(b-ad） (8) 推论3：若函数f(eR[a,且f(≥0（≤0），xa月，则 f(x女≥0（≤0） (9) 性质6：若函数f(eRa,则/(ea,且 心fs/海 (10) 证：分别记函数f四)与（在区间上的振幅为a()与@（川），由于 a00-/(x-/(xs.x)-fxW=a.) 于是 0s20.a≤2a)a0 (d(a)-→0) 即Ea/A=0 所以Y(x∈Ra,。 又注意到，对任意函数儿冈，总有 -/(x≤f(x)≤(x 再根据性质5，有 -f(xds[f(x)≤f(x)d 可见式(6)成立。 创1、估计积分。 《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 5 ( ) b a f x dx  ( ) b a  g x dx  （7） 由定积分的定义 1.1 很容易看出性质 5 的正确性。 推论 2：若函数 f x( )  R a b  ,  ，且 m f x M   ( ) ， x a b  ,  ，则 ( ) ( ) ( ) b a m b a f x dx M b a −   −  （8） 推论 3：若函数 f x( )  R a b  ,  ，且 f x( )   0 0 ( )， x a b  ,  ，则 ( ) b a f x dx    0 0 ( ) （9） 性质 6：若函数 f x( )  R a b  ,  ，则 f x( )  R a b  ,  ，且 ( ) ( ) b b a a f x dx f x dx    （10） 证： 分别记函数 f x( ) 与 f x( ) 在区间上的振幅为 k ( f ) 与 k ( f ) ，由于 k ( f ) = , ,  1  sup k k x x x x −    f x f x (   ) −  ( )  , ,  1  sup k k x x x x −    f x f x (   ) − = ( ) k ( f ) 于是 ( ) 1 0 n k k k  f x =     ( ) 1 n k k k  f x =   →0 (d ( →) 0) 即 ( ) 0 lim d  → ( ) 1 0 n k k k  f x =   = ，所以 f x( ) R a b  , 。 又注意到，对任意函数 f x( ) ，总有 −   f x f x f x ( ) ( ) ( ) 再根据性质 5，有 ( ) ( ) ( ) b b b a a a −   f x dx f x dx f x dx    可见式（6）成立。 例 1、估计积分 2 1 2 0 x e dx − 