《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 从而 f(x本_f-∫fx体=广f(x女+f( 总之不论a、b、c在区间I的位置如何，总有式(4)成立。 性质4：若函数f(),(yeRa,],则乘积函()5(9eR[a,。 正：对于区间a,)的任意分法 △：x=a<x<x<<xn=b 记@)、，.()和a()分别为（冈、方（和（冈在飞x上的振辐，由函 数可积的必要条件，3M、M>0,使得 (x)≤M, 5(xsM,.x∈[a, 另一方面，x,ra,有 (x)5(x)-f(x)5(x [(x)-f(x)]5(x)+[5(x)-5(x)](x)≤ (x')(x')-(x+(x)53(x)-5(x≤ M2(x)-f(x")+M,5(x)-5(x) 于是有 a)=242()-+4黑（们-(W- M,0,(f)+M,o,(5) 从而 -2a三42o+w2@,A 已知，()eRa,),，上式右端的两个报幅和趋于((a)→0)，所以 2a)a=0即n()(*)cRlat. 性质5：（单调性质）：若函数(，8)eRa,且f()≤8()，xc[a,月，则《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 4 从而 ( ) b a f x dx  = ( ) ( ) c c a b f x dx f x dx −   ( ) ( ) c b a c = + f x dx f x dx   总之不论 a、b 、c 在区间 I 的位置如何，总有式（4）成立。 性质 4：若函数 f x 1 ( )， f x 2 ( )  R a b  ,  ，则乘积函 f x 1 ( ) f x 2 ( )  R a b  , 。 证： 对于区间 a b,  的任意分法 0 1 2 : n  =     = x a x x x b 记 k ( f 1 ) 、 k ( f 2 ) 和 k ( f f 1 2  ) 分别为 f x 1 ( )、 f x 2 ( ) 和 f x f x 1 2 ( ) ( ) 在 x x k k −1 ,  上的振幅，由函 数可积的必要条件， M1、 M2  0 ，使得 f x M 1 1 ( )  ， f x M 2 2 ( )  ， x a b  ,  另一方面，   x x a b   , ,   ，有 f x f x f x f x 1 2 1 2 (     ) ( ) − = ( ) ( )     f x f x f x f x f x f x 1 1 2 2 2 1 (       ) − + −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     f x f x f x 2 1 1 (    ) ( ) − ( ) + −  f x f x f x 1 2 2 (    ) ( ) ( ) M f x f x M f x f x 2 1 1 1 2 2 (     ) − + − ( ) ( ) ( ) 于是有 k ( f f 1 2  ) = , ,  1  sup k k x x x x −    1  2 , , sup k k x x x x M −    f x f x 1 1 (   ) − + ( )  1  1 , , sup k k x x x x M −    f x f x 2 2 (   ) − = ( ) M f 2 1 k ( ) + M f 1 2 k ( ) 从而 ( ) 0 lim d  → ( 1 2 ) 1 n k k k  f f x =     2 1 1 2 ( ) ( ) 1 1 n n k k k k k k M f x M f x   = =    +  已知 f x 1 ( )， f x 2 ( )  R a b  ,  ，上式右端的两个振幅和趋于 0 0 (d ( →) ) ，所以 ( ) 0 lim d  → ( 1 2 ) 1 n k k k  f f x =   = 0 即 f x 1 ( ) f x 2 ( )  R a b  , 。 性质 5：（单调性质）： 若函数 f x( )， g x( )  R a b  ,  ，且 f x( )  g x( ) ， x a b  ,  ，则