《数学分析》教案 第九章定积分 海布大学数学系 即 [kf)+k5]本= k心(x本+心5（本 如果式(2中，令)=f因，方（冈=1：k=k,名=0，可得 推论1：若函数(ea月，keR,则()eRa,且 [kf(x)d=k["f(x)dx (3) 性质3（可加性质）：设1为一个有限闭区间，a,6ce1,若f()在1上可积，则/（冈在 a,)、[ad、【c,上均可积，且 广本=f本+fx (4) 证：利用函数可积充要条件式，可以证明()在1的任一子区间上均可积。 若cc(a,b),则对a小的任意分法A,总有 oS(A)-∫f(x (5) 这时将C始终作为分法△的一个分点，则 a).会)-)图)A (6) 与)分别表示相应于分法△函数国在ad与k创上的积分和， 这里) 由f)∈R[ad、f)eRc,及式(5)和式(6)，有 ∫心fx本_f+f(x 若c在【a,月之外，不妨设c>b,则f)ea,d,由上面的讨论，有 f(x女=∫心(x:+f(x 《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 3 即 1 1 2 2 ( ) ( ) b a   k f x k f x dx +    = 1 1 ( ) b a k f x dx  + 2 2 ( ) b a k f x dx  如果式（2）中，令 f x 1 ( ) = f x( )， f x 2 ( ) = 1 ； 1 k = k ， 2 k = 0 ，可得 推论 1：若函数 f x( )  R a b  , ，k R  ，则 kf x( )  R a b  ,  ，且 ( ) ( ) b b a a kf x dx k f x dx =   （3） 性质 3（可加性质）： 设 I 为一个有限闭区间， a b c I , ,  ，若 f x( ) 在 I 上可积，则 f x( ) 在 a b, 、a c,  、c b,  上均可积，且 ( ) b a f x dx  = ( ) ( ) c b a c f x dx f x dx +   （4） 证：利用函数可积充要条件式，可以证明 f x( ) 在 I 的任一子区间上均可积。 若 c a b ( , ) ，则对 a b,  的任意分法  ，总有 ( ) 0 lim d  → S (, ) = ( ) b a f x dx  （5） 这时将 c 始终作为分法  的一个分点，则 S (, ) = ( ) 1 n k k f  =  k x = ( )  ,  k a c  f  k x ( )  ,  k c b + f  k x （6） 这里 ( )  ,  k a c  f  k x 与 ( )  ,  k c b  f  k x 分别表示相应于分法  函数 f x( ) 在 a c,  与 c b,  上的积分和， 由 f x( ) R a c  , 、 f x( ) R c b  ,  及式（5）和式（6），有 ( ) b a f x dx  = ( ) ( ) c b a c f x dx f x dx +   若 c 在 a b,  之外，不妨设 c b  ，则 f x( ) R a c  ,  ，由上面的讨论，有 ( ) ( ) ( ) c b c a a b f x dx f x dx f x dx = +   