《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 若极限，5(A)存在，称此极限为（四在区间6，d上的定积分，记作 体26 如果将/(9在区间b,d上的积分和与在【a)上的积分和相比较，二者之间只相差 个负号。于是得到如下性质： 性质1：若函数feRa,则f(eR6,d,且 f(x本=-f本 (1) 另外规定函数(0)在一点处的定积分为f(本=0 从几何上看，上述规定是自然的。因为底边缩成一点a,而高为回)的曲边梯形，为一直 线段，其面积为零。 下面的讨论中，积分区间[a,)总是假定a<b,至于>b的情形，读者不难自行推出相应结 论。 性质2（线性性质）： 若函数f国，（冈ea,(,keR,则函数 kf)+k5()eRa,b],且 [f()+k(]=k心f本+ k[(xytr (2) 证：作函数()+k(9的积分和 2[)6】A-2A+2园a 由酸设，6)：，故肥宫)与思容5传)存在.于是由极限性 质知一[+】存在，从新人)，E R[a,且 巴2[k)+k5】k巴2(5)A+k三5()A《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 2 若极限 ( ) 0 lim d  → S (, ) 存在，称此极限为 f x( ) 在区间 b a,  上的定积分，记作 ( ) a b f x dx  = ( ) 0 lim d  → ( ) 1 n k k k f x  =   如果将 f x( ) 在区间 b a,  上的积分和与在 a b,  上的积分和相比较，二者之间只相差一 个负号。于是得到如下性质： 性质 1： 若函数 f x( )  R a b  ,  ，则 f x( )  R b a  ,  ，且 ( ) b a f x dx  =− ( ) a b f x dx  （1） 另外规定函数 f x( ) 在一点处的定积分为 ( ) a a f x dx  = 0 从几何上看，上述规定是自然的。因为底边缩成一点 a ，而高为 f a( ) 的曲边梯形，为一直 线段，其面积为零。 下面的讨论中，积分区间 a b,  总是假定 a b  ，至于 a b  的情形，读者不难自行推出相应结 论。 性 质 2 （ 线 性 性 质 ）： 若 函 数 f x 1 ( ) ， f x 2 ( )  R a b  ,  ， 1 2 k k,  R ，则函数 k f x 1 1 ( ) + k f x 2 2 ( )  R a b  ,  ，且 1 1 2 2 ( ) ( ) b a   k f x k f x dx +    = 1 1 ( ) b a k f x dx  + 2 2 ( ) b a k f x dx  （2） 证： 作函数 k f x 1 1 ( ) + k f x 2 2 ( ) 的积分和 1 1 2 2 ( ) ( ) 1 n k k k k f k f   =   +   k x = 1 k 1 ( ) 1 n k k f  =  k x + 2 k 2 ( ) 1 n k k f  =  k x 由假设 f x 1 ( )， f x 2 ( )  R a b  ,  ，故 ( ) 0 lim d  → 1 ( ) 1 n k k f  =  k x 与 ( ) 0 lim d  → 2 ( ) 1 n k k f  =  k x 存在。于是由极限性 质知 ( ) 0 lim d  → 1 1 2 2 ( ) ( ) 1 n k k k k f k f   =   +   k x 存在，从而 k f x 1 1 ( ) + k f x 2 2 ( )  R a b  ,  ，且 ( ) 0 lim d  → 1 1 2 2 ( ) ( ) 1 n k k k k f k f   =   +   = 1 k ( ) 0 lim d  → 1 ( ) 1 n k k f  =  k x + 2 k ( ) 0 lim d  → 2 ( ) 1 n k k f  =  k x