三、典型例题解析 例1计算1=，其中L是圆+少=中0，)到是爱之间的一段劣孤 (a>0). 解法1将积分弧段分为4C和CB两段弧来计算（如图9 一1所示)： ∫nd=迹+d 而 h=o2=, 图9一 。可品女方 故 1=可h=0+万女2 解法2L=AB的参数方程为：x=acos0,y=asin0(←元≤0s),于是 1-acs-asinay +(acosoY do 错误解答设C(a0),因为4C:y=√后P-平，CB:y=-厅-F,则沿此两段弧均有 典故有地=方如 错解分析错误原因在于选x作为参数时，y表示为x的单值函数时有两个表达式，故 必须分为两段计算. 注在求对弧长的曲线积分时，若己知积分曲线的参数方程为L:x=(),y=() 且1=口和1=B分别对应点A与点B处的参数值，在将曲线积分转化为定积分时，除了要求 积分的下限小于上限，还要注意：当t从a连续变化到B时，相应的点(()，)应在积分 曲线上.同时，若将非参数的积分曲线转化为参数形式时，参数方程不同，积分限也不同， 计算的难易程度也不同，所以，一般要选取计算较为简单的参数方程形式 例2计算手x-y+1)d,其中L是顶点为00,0)，41,0)及B0,1)所成三角形的边界 三、典型例题解析 例 1 计算 L I xds =  ，其中 L 是圆 2 2 2 x y a + = 中 A a (0, ) 到 ( , ) 2 2 a a B − 之间的一段劣弧 （a  0)． 解法 1 将积分弧段分为 AC 和 CB 两段弧来计算（如图 9 －1 所示）： AB AC CB xds xds xds = +    而 2 0 2 2 a AC ax xds dx a a x = = −   ， 2 2 2 2 2 a a CB ax a xds dx a x = = −   ． 图 9－1 故 1 2 (1 ) 2 L I xds a = = +  ． 解法 2 L AB = 的参数方程为： x a y a = = cos , sin   ( ) 4 2   −    ，于是 2 4 2 2 I a a a d cos ( sin ) ( cos )       − = − +  2 4 2 2 1 cos (1 ) 2 a d a     − = = +  ． 错误解答 设 C a( ,0) ，因为 2 2 AC y a x : = − ， 2 2 CB y a x : = − − ，则沿此两段弧均有 2 2 adx ds a x = − ，故有 2 2 0 2 2 1 (1 ) 2 a AB ax xds dx a a x = = − −   ． 错解分析 错误原因在于选 x 作为参数时， y 表示为 x 的单值函数时有两个表达式，故 必须分为两段计算． 注 在求对弧长的曲线积分时，若已知积分曲线的参数方程为 L ：x t = ( )，y t = ( ) 且 t = 和 t =  分别对应点 A 与点 B 处的参数值，在将曲线积分转化为定积分时，除了要求 积分的下限小于上限，还要注意：当 t 从  连续变化到  时，相应的点 ( ( ), ( ))   t t 应在积分 曲线上．同时，若将非参数的积分曲线转化为参数形式时，参数方程不同，积分限也不同， 计算的难易程度也不同，所以，一般要选取计算较为简单的参数方程形式． 例 2 计算 ( 1) L x y ds − +  ，其中 L 是顶点为 O A (0,0), (1,0) 及 B(0,1) 所成三角形的边界． x y o A B C