解L是分段光滑的闭曲线，如图9一2所示，根据积分的可加 性，则有 ∮(x-y+Id =(x-y+1)d+x-y+1)d+x-y+1)d, 由于OA:y=0,0sxs1,于是 图9一2 山=尝+（安=F+0= 故 x-y+1h=x-0+= 而AB:y=1-x,0≤x≤1，于是 山=会+密=+（在=. ∫x-y+达=x-1-)+5k=2, 同可阳000s1,-+密=甲=，则 jx-y+达=可0-y+w= 综上所述x-y+1达=+巨+=2+反. 注当L是分段光滑的闭曲线时，应该分成光滑曲线逐段计算 例3计算√R+Fk,其中L为圆周x+y'=,a>0 分析积分曲线L关于x轴对称（如图9一3所示），被积函数为关于y的偶函数，由对 称性得 手NR+y=2R+少， 其中4：x2+y2=y≥0). 解法1直接化为定积分。上的参数方程为 x=号+5cos0,y=号sin0(0s0sx）, ds=x(+y(o)de=4de 图9-3 于是解 L 是分段光滑的闭曲线，如图 9－2 所示，根据积分的可加 性，则有 ( 1) L x y ds − +  ( 1) OA = − + x y ds  ( 1) AB + − + x y ds  ( 1) BO + − + x y ds  ， 由于 OA : y = 0 ， 0 1  x ，于是 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 0 dx dy ds dx dx dx dx dx = + = + = ， 图 9－2 故 1 0 3 ( 1) ( 0 1) 2 x y ds x dx − + = − + =   OA ， 而 AB : y x = −1 , 0 1  x ，于是 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 ( 1) 2 dx dy ds dx dx dx dx dx = + = + − = ． 故 1 0 ( 1) [ (1 ) 1] 2 2 AB x y ds x x dx − + = − − + =   ， 同理可知 BO : x = 0 （ 0 1  y ）， 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 1 dx dy ds dy dy dy dy dy = + = + = ，则 1 0 1 ( 1) [0 1] BO 2 x y ds y dy − + = − + =   ． 综上所述 3 1 ( 1) 2 2 2 L 2 2 x y ds − + = + + = +  ． 注 当 L 是分段光滑的闭曲线时，应该分成光滑曲线逐段计算． 例 3 计算 2 2 L x y ds +  ，其中 L 为圆周 2 2 x y ax + = ，a  0 ． 分析 积分曲线 L 关于 x 轴对称（如图 9－3 所示），被积函数为关于 y 的偶函数，由对 称性得 2 2 2 2 2 L L x y ds x y ds + = +   1 , 其中 2 2 1L x y ax y : ( 0) + =  ． 解法 1 直接化为定积分． L1 的参数方程为 cos 2 2 a a x = +  , sin 2 a y =  （ 0     ）, 且 2 2 [ ( )] [ ( )] 2 a ds x y d d = + =       ． 图 9－3 于是 x y o L L1 a x y o A(1,0) B(0,1)