习题4.3导数四则运算和反函数求导法则 1.用定义证明(cosx)=-sinx 证由于 -2 sin(x+ 根据sinx的连续性和sin()-(△x→0),可知 lim cos(x+△x)-cosx =-lim sin(x +-).lim smnx。 2Ax→0Ax 2.证明 (1)(csc x)'=-cot xcscx; (2)(cot x)=-cSc2x; (3)(arccos)= (4)(arccot x) 解(1)( (csc x) (sin x) cos x =-cot x cscx o sIn x sin x sin x (2)(cot x) (tan x) (3)(arccos)=(I arcsinx)=一 (4)(arccot x)=(-arctan x)'= (5)(ch ( chy)'shy ch2y-l√2 (6)(th-x) (thy)' sech'y I-th2y 1-x2习 题 4.3 导数四则运算和反函数求导法则 ⒈ 用定义证明(cos x x )′ = − sin 。 证 由于 2 )sin 2 cos( ) cos 2sin( x x x x x x ∆ ∆ + ∆ − = − + ， 根据sin x 的连续性和sin( ) ( 0) 2 2 x x x ∆ ∆ ∼ ∆ → ，可知 0 0 0 sin cos( ) cos 2 lim lim sin( ) lim sin 2 2 x x x x x x x x x x ∆ → x ∆ → ∆ → x ∆ + ∆ − ∆ = − + ⋅ = − ∆ ∆ 。 2. 证明： ⑴ (csc x)′ = −cot x csc x ； ⑵ x x 2 (cot )′ = −csc ； ⑶ (arccos x) x ′ = − − 1 1 2 ； ⑷ 2 1 1 (arc cot ) x x + ′ = − ； ⑸ (ch ) − ′ = − 1 2 1 1 x x ； ⑹ (th ) (cth ) − − ′ = ′ = − 1 1 2 1 1 x x x 解（1） x x x x x x x x cot csc sin cos sin (sin )' sin 1 (csc )' 2 2 ' = − = − = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 。 （2） x x x x x x x x 2 2 2 2 2 ' csc sin 1 tan sec tan (tan )' tan 1 (cot ) = − = − = − = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ′ = 。 （3） 2 1 1 arcsin )' 2 (arccos ) ( x x x − ′ = − = − π 。 （4） 2 1 1 arctan )' 2 (arc cot ) ( x x x + ′ = − = − π 。 （5） 1 2 2 1 1 1 1 (ch ) (ch )' sh ch 1 1 x y y y x − ′ = = = = − − 。 （6） 1 2 2 1 1 1 1 (th ) = (th )' sech 1 th 1 x y y y − ′ = = = 2 − − x ， 64