以I作为积分∫f(x)dD的近似值。 R,A,Nicolaidests给出了如下定理： 〔定理3〕若f(x)为在超立方体D:0≤×，≤1=1,2…n上的有界变差函数，f的 P” 总变差记作P(f。P1,P,…是D中的一个点列。再设R为D内的R型子集a:≤x:一B, i=1,2,…”,记N(R,N)为位于R内点列P1,P2,…的点数，则有： d ∫)D-文fP,)r)Dw 其中，DW=sBNN(R,W-VoI(R) Vol(R)=(B.-a.) 由定理3可知，在整体淹没阶段中，每次积分中的V(f)可放大为L-1(由f(x)的连 续性)，当D()不变时，相继作两次积分，后者较前者的精度将自动提高一倍，这恰好适 应了对开始阶段积分精度要求较低的需要。 本算法要作多维数值积分，其计算次数是指数型的（需作N=m"次求函数值运算，及 m”-1次加法运算)。但由于(x)的构成法易知，m”次求函数值的运算仅在第一次数值积分 时进行，在后继积分中只需进行比较f(P,)与1即可得出。这不仅可以避免隧道函数法中多 次求解非线性方程的繁与难，而且还大大减少了局部最优化的计算次数。因此，总的说来， 当维数n<5~6时，涨落算法的计算量是不大的，或是可接受的。在微机上即可实施。 4.2推荐使用的多维数值积分方法 我们建议使用“等分布序列法”，它是一种随机抽样方法。 定义（等分布点列）：在〔@，b〕中一个（确定性）的点列x,,x:,x3…,若对所有 Riemann可积函数f(x)均有： 则称点列x,x2,…在〔a,b〕上是等分布的。 此定义可类似地扩充到多维。 〔定理4〕若9为一个无理数，则序列x。=(n)n=1,2,…为〔0,1门上的等分布序 列。其中，(n)表示n0的小数部份。 证明（略）。 定理4可以推广到多维：设9,02，…9.为n个线性无关的无理数，可以证明（略）： 点列{(0，)，(j2),…(j)}j=1,2…为0<x,≤1i=1,2…n中的等分布序列，即 a1,,…0)=∫一∫f8xd 289以 ‘ 作为 积分 了 。 “ 二 ， ” 的近似值 。 〔 ’ 给 出了如下定理 〔定理 〕 若 幼 为在超 立方体刀 ‘ ￡ ， 一 上 的有界变差 函数 ， 的 总 变差记作 厂 。 尸 ， ， ， …是 中的一个点列 。 再设 刀 为 内的尸型子集 “ “ 刀 ‘ ‘ 二 ， ， … 打 ， 记 ， 为位于 内点列 ， ， 尸 ， 的 点 数 ， 则有 丁 …责 一 ‘“ ’ ， ， 、 ， 。 兰 。 ， 。 、 … 二 ， ， ， 、 。 ， 、 二 、 又工 少 刀 一 万而， 山 厂 口 乏飞 犷 ， 又义 夕 尸 尸 其 中 ， ‘ 呈 一 刀 ‘ 一 ‘ 由定理 可知 ， 在 整体淹没 阶段 中 ， 每 次积分 中的 犷 可放大 为 一 由 的 连 续性 ， 当 不 变时 ， 相 继 作两 次积分 ， 后者较前者 的精度将 自动 提高一倍 ， 这恰 好适 应 了对开 始阶段 积分精度要求较低 的需要 。 本算法 要作 多维数值积分 ， 其计算次数是指数 型 的 需 作 砂 次求 函数值运算 ， 及 二 ’ 一 次加法运算 。 但 由 的 构成 法 易知 ， ’ 次求 函数值的运算仅在第一 次数值积分 时进 行 ， 在后继积 分 中只 需进 行 比较了 ‘ 与 即可得 出 。 这不仅 可 以避免隧道 函数法 中多 次求解 非线性方程 的繁 与难 ， 而 且还大 大减 少 了局部最优化 的计算 次数 。 因此 ， 总的说来 ， 当维数 儿 一 时 ， 涨落算法 的计算量 是不大 的 ， 或是可接 受 的 。 在微机 上 即可实施 。 。 推 荐 使 用 的 多维 致值 积分 方法 我 们建议使 用 “ 等分布序 列法 ” ， 它 是一种随机抽 样方法 。 定 义 等分布点列 在 〔 “ ， 的 中一 个 确 定性 的点 列 ‘ ， ， ， ” 一 ， 若 对 所有 可积 函 数 幻 均有 一 三 － 乙 〔 ‘ 二 二 打 一 了“ ‘ ’ ‘ 则称点 列 ， ， … 在〔 ， 的 上是 等分布的 。 此定 义可类 似地 扩充到 多维 。 〔定理 〕 若 为一 个无 理数 ， 则序 列 。 的 。 ， ， … 为 〔 。 ， 〕 的 等分布序 列 。 其 中 ， 动 表 示 动的 小 数部 份 。 证明 略 。 定 理 可以推广到多维 设 ， ， ， 白 。 为 ” 个线 性无 关 的无 理数 ， 可 以 证明 略 点列 ’ ， ’ 。 ， “ · ” ， “ 为 。 长 ‘ 二 ， 中的 等分布序 列 ， 眼 ， ， … ’ 丁了 … 了 了 二 “ ·