《数学分析》教案 第十章定积分的应用 海南大学数学系 因为两鱼线交点为-骨和2 ,于是所求面积0可表作 9 11 G里o4 coso 这个积分计算起来就复杂多了。可见计算平面图形的面积一般要先画出草 图，选择在直角坐标系，还是在极坐标系下的方程来表达边界曲线，目的应该使 所得曲线方程简单易于积分运算。 (3)用参数方程表示的曲线所围成的平面图形面积的计算。如果所给曲线 方程为参数形式 ∫x=p) asisB ly=v(t) (10.6) 其中(0单调增加，且（回=a,()=b,p0,(0,(∈C[a,月，则 由曲线(6.6X、x轴及直线x=ax=b所围成的平面图形面积（图6.2） o=∫w()lo')d (10.7) 事实上，由条件知，存在反函数'=()，因而曲线方程为 y=w[p'(x)] a≤x≤b 所以由公式(10.2)知，该平面图形的面积为 。=y[o'(x小t=wo'0h (10.8) 上述公式当=p(0单调减少时仍成立，这时(0s0,同时a≥B。 例8、求旋轮线 [x=a(t-sint) a>0,0s1s2元 y=a(t-cost) 与x轴所围成图形的面积。《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 海南大学数学系 9 因为两曲线交点为 (2, ) 3  − 和 (2, ) 3  ，于是所求面积  可表作 ( ) 3 3 2 2 3 3 1 9 1 2 cos 1 cos d d        − −     = = − =     +     ( ) 3 2 2 0 9 1 1 cos cos d         −   +    这个积分计算起来就复杂多了。可见计算平面图形的面积一般要先画出草 图，选择在直角坐标系，还是在极坐标系下的方程来表达边界曲线，目的应该使 所得曲线方程简单易于积分运算。 （3）用参数方程表示的曲线所围成的平面图形面积的计算。如果所给曲线 方程为参数形式 ( ) ( ) x t t y t      =     = （10.6） 其中  (t) 单调增加，且  ( ) = a，  ( ) = b，  (t) ； (t) ，    (t C )  ,  ，则 由曲线（6.6）、 x 轴及直线 x a x b = = , 所围成的平面图形面积（图 6.2） (t t dt ) ( )      =   （10.7） 事实上，由条件知，存在反函数 ( ) 1 t x  − = ，因而曲线方程为 ( ) 1 y x a x b   − =       所以由公式（10.2）知，该平面图形的面积为 ( ) ( ) ( ) 1 b b a a      x dx t t dt − = =        （10.8） 上述公式当 x t = ( ) 单调减少时仍成立，这时 (t)  0 ，同时    。 例 8、求旋轮线 ( sin ) 0,0 2 ( cos ) x a t t a t y a t t   = −      = − 与 x 轴所围成图形的面积