lim f du= fdu 证明由于存在可积函数g,使得fn≥g,ae.(n≥1),因此f≥gae.由§4定理7 知道J,和∫的积分存在.对非负可测函数列{n-f}应用定理1,我们有 imJ4-8d=lmn∫(n-gd=∫(-gM=j-Jsd 由此得m∫,4=丁m 推论3(Leⅵ单调收敛定理的级数形式)设{fn}是一列非负的可测函数.则 ∫∑/4=∑Jd 证明令gn=∑J,n2L8=∑f则0≤8n↑g.应用定理1得到 ∑fd=imJg,d=lmCd=∑Jd 例1(积分对积分域的可数可加性)设∫的积分存在,{An}是一列互不相交的可测集.则 fdu fdu 证明由推论3,我们有 fd U />/t4=∑/rL4=∑∫rd 类似地成立 fdu U 由于∫的积分存在,因此J1y 广d和J,厂d至少有一个是有限的将5)和6 的两端相加即得(4)■ 定理4( Fatou引理)设{fn}是一列非负可测函数.则 lim d≤ lim f,d 证明对每个n≥1,令gn= inf f,.则{gn}是单调增加的并且 0≤gn≤fn, lim g= lim f,由单调收敛定理得到 Jim f, du=lim g, du= lim g, du s lim /du103 ∫ ∫ = →∞ lim f dµ fdµ. n n 证明 由于存在可积函数 g, 使得 f ≥ g, a.e. (n ≥ 1), n 因此 f ≥ g a.e. 由§4.1.定理 7 知道 n f 和 f 的积分存在. 对非负可测函数列{ f f } n − 应用定理 1, 我们有 lim lim ( ) ( ) . ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − = − = − = − →∞ →∞ f dµ gdµ f n g dµ f g dµ fdµ gdµ n n n 由此得 ∫ ∫ = →∞ lim f dµ fdµ. n n ■ 推论 3 (Levi 单调收敛定理的级数形式)设{ }n f 是一列非负的可测函数. 则 . 1 1 ∫∑ ∑∫ ∞ = ∞ = = n n n f n dµ f dµ 证明 令 , 1, . 1 1 ∑ ∑ ∞ = = = ≥ = i i n i n i g f n g f 则0 g g. n ↑ ≤ 应用定理 1 得到 ∫∑ ∫ ∑ ∑ ∫ ∫ = ∞ = →∞ ←∞ ∞ = = = = n i i i i n n n i fid g d f d f d 1 1 1 µ lim µ lim µ µ. ■ 例 1 (积分对积分域的可数可加性)设 f 的积分存在, { } An 是一列互不相交的可测集. 则 1 1 . n n n A A n ∞ f d fd µ µ = ∞ = ∫ ∫ ∪ =∑ (4) 证明 由推论 3, 我们有 1 11 1 .. n n n n n A A A A nn n ∞ f d fId fId fd µ µ µµ = ∞∞ ∞ ++ + + == = ∫∫ ∫ ∫ ∪ === ∑∑ ∑ (5) 类似地成立 1 1 . n n n A A n ∞ f d fd µ µ = ∞ − − = ∫ ∫ ∪ =∑ (6) 由于 f 的积分存在, 因此 1 n n A ∞ f dµ = + ∫∪ 和 1 n n A ∞ f dµ = − ∫∪ 至少有一个是有限的. 将(5)和(6) 的两端相加即得(4).■ 定理 4 (Fatou 引理)设{ }n f 是一列非负可测函数. 则 lim f dµ lim f dµ. n n n n ∫ ∫ →∞ →∞ ≤ 证 明 对每个 n ≥ 1, 令 inf . k k n n g f ≥ = 则 { } gn 是单调增加的并且 0 , n n ≤ g ≤ f lim lim . n n n n g f →∞ →∞ = 由单调收敛定理得到 lim lim lim lim . ∫ ∫ ∫ ∫ →∞ →∞ →∞ →∞ f dµ = g dµ = g dµ ≤ fndµ n n n n n n n ■