推论5设{n}是一列可测函数.则 ()若存在一可积函数g使得,2g,ae(m21)则 Jlimf,du slim∫d n→① )若存在一可积函数g使得≤gae(n21)则∫m4m∫fd 证明对函数列{fn-g}应用定理4即得(i).再对函数列{-fn}应用()的结果并注意 到lim(-n)=- lim f,即得(i).■ 定理6(控制收敛定理)设∫,fn(n≥1)是可测函数,并且存在可积函数g使得 Jfl≤gae(n21)若fn>∫或fn“→f,则∫可积并且 lim f ,du= faA 证明先证∫n→f的情形由于川≤gae(n21故≤gae由于g可积 由§41.定理6知道f和∫都可积.由 Fatou引理,我们有 ∫a=Jimf,d≤sim∫,dshm∫,d≤Jm 因此im∫4存在并且(成立再证f一→f的情形由32定理6对{n}的任 子列{m}都存在其子列{},使得f-f(→).由上面所证的结果有 im∫md= 这蕴涵 limf, dR存在并且7成立■ 推论7(有界收敛定理)设{}是有限测度空间上的可测函数列并且存在常数M使得 I. ae(n≥1).若fn)f厂或∫n→f,则∫可积并且 lim f,du= fdu 证明由于有限测度空间上的常数函数是可积的,取g=M,即知推论成立.■ 推论8设对每个固定的t∈[a,b],f(x,1)是X上的可测函数,又设f(x)是X上的可 测函数,使得 lim f(x,1)=∫(x)a.e.若存在X上的可积函数g使得 f(x,1)≤g(x)ae,t∈[ab 则∫可积并且 limo(x,)du(x)=/(x)du(x)104 推论 5 设{ }n f 是一列可测函数. 则 (i).若存在一可积函数 g 使得 f ≥ g, a.e. (n ≥ 1). n 则 limf dµ lim f dµ. n n n n ∫ ∫ →∞ →∞ ≤ (ii).若存在一可积函数 g 使得 f ≤ g, a.e. (n ≥ 1). n 则 lim lim . ∫ ∫ →∞ →∞ f dµ ≥ f n dµ n n n 证明 对函数列{ f g} n − 应用定理 4 即得(i). 再对函数列{ }n − f 应用(i) 的结果并注意 到 n n n n f f →∞ →∞ lim(− ) = − lim 即得(ii). ■ 定理 6 (控制收敛定理) 设 f , f (n ≥ 1) n 是可测函数, 并且存在可积函数 g 使得 f ≤ g a.e.(n ≥ 1). n 若 f f n →a.e. 或 f f , n →µ 则 f 可积并且 ∫ ∫ = →∞ lim f dµ fdµ. n n (7) 证明 先证 f f n →a.e. 的情形. 由于 f ≤ g a.e.(n ≥ 1). n 故 f ≤ g a.e..由于 g 可积, 由§4.1.定理 6 知道 n f 和 f 都可积. 由 Fatou 引理, 我们有 lim lim lim . ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = ≤ ≤ ≤ →∞ →∞ →∞ fdµ f dµ f dµ f n dµ fdµ n n n n n 因此 ∫ →∞ f n dµ n lim 存在并且(7)成立. 再证 f f n →µ 的情形. 由§3.2 定理.6, 对{ }n f 的任一 子列{ } nk f 都存在其子列{ } nk f ′ , 使得 ( ). a.e. → ′ → ∞ ′ f f k nk 由上面所证的结果有 ∫ ∫ = ′ ′→∞ lim f dµ fdµ. k n k 这蕴涵 ∫ →∞ f n dµ n lim 存在并且(7)成立.■ 推论7 (有界收敛定理) 设{ }n f 是有限测度空间上的可测函数列,并且存在常数 M 使得 f ≤ M a.e.(n ≥ 1). n 若 f f n →a.e. 或 f f , n →µ 则 f 可积并且 ∫ ∫ = →∞ lim f dµ fdµ. n n 证明 由于有限测度空间上的常数函数是可积的, 取 g = M , 即知推论成立. ■ 推论 8 设对每个固定的t ∈[a,b], f (x,t) 是 X 上的可测函数, 又设 f (x) 是 X 上的可 测函数, 使得lim ( , ) ( ) a.e.. 0 f x t f x t t = → 若存在 X 上的可积函数 g 使得 f (x,t) ≤ g(x) a.e., t ∈[a,b]. (8) 则 f 可积并且 ∫ ∫ = → lim ( , ) ( ) ( ) ( ). 0 f x t d x f x d x t t µ µ (9)