(这里为强调是对x的函数积分,将[f(x,1)d记为「f(x,)d(x) 证明由(8)知道≤gae,因此∫可积设{tn}是(ab)中的数列使得tn→t由 于limf(x,1)=∫(x)ae,因此lim∫(x,tn)=f(x)ae.又 f(x,n)≤g(x)ae(n≥1 由定理6得到 m∫(xn)d(x)=J(x)(x) 这表明limf(x,1)d(x)存在并且(9成立■ 例2(积分号下求导)设∫(x,y)是定义在[a,b×[c,d]上的函数,使得对每个 yec,dl,f(x,y)是[a,b上的L可积函数对每个(x,y)∈a,b]xlc,d,f(x,y)存在, 并且存在[a,b]上的L可积函数g(x),使得 (xy)≤g(x),(xy)∈La×1c:d 则函数1(y)=「f(x,y)可导,并且成立 ∫(xy)=Jf( (11) 证明对任意(x,y)∈[a,b×[c,d,令 o(x)=/(xy+0)-/(xy 其中和1≠0并且团充分小,使得y+∈cd]则对任意x∈[ab有 limo(x,t)=f(x, y) 由微分中值定理和(0当x∈[a小并且充分小时,成p(x1)≤(x)因此由推论8 J(xy)d=lm厂(x)h ∫ f(x, ydx 因此函数(y)=f(x,y)x可导,并且(1)立■ 小结本节介绍了积分的极限定理主要是三个重要定理,即单调收敛定理, Fatou引 理和控制收敛定理,它们分别适用于不同的情况与关于 Riemann积分的相应结果比较,本 节所介绍的积分的极限定理的条件较少而且较容易验证,因此它们在理论推导和积分计算 方面有广泛的应用 习题习题四,第15题一第25题105 (这里为强调是对 x 的函数积分, 将 ∫ f (x,t)dµ 记为 f (x,t)d (x) ∫ µ ). 证明 由(8)知道 f ≤ g a.e., 因此 f 可积. 设{ }nt 是 (a,b)中的数列使得 . 0 t t n → 由 于lim ( , ) ( ) a.e., 0 f x t f x t t = → 因此 lim f (x,t ) f (x) a.e.. n n = →∞ 又 f (x,t ) ≤ g(x) a.e.(n ≥ 1). n 由定理 6 得到 ∫ ∫ = →∞ lim f (x,t )d (x) f (x)d (x). n n µ µ 这表明lim ( , ) ( ) 0 f x t d x t t → ∫ µ 存在并且(9)成立.■ 例 2 (积分号下求导)设 f (x, y) 是定义在 [a,b]×[c,d] 上的函数, 使得对每个 y ∈[c,d], f (x⋅, y ) 是[a,b]上的L可积函数. 对每个(x, y) ∈ [a,b]×[c,d], f (x, y) y ′ 存在, 并且存在[a,b]上的 L 可积函数 g(x), 使得 f (x, y) g(x), y ′ ≤ (x, y) ∈ [a,b]×[c,d]. (10) 则函数 () (, ) b a I y f x y dx = ∫ 可导, 并且成立 (, ) (, ) . b b y a a d f x y dx f x y dx dy = ′ ∫ ∫ (11) 证明 对任意(x, y) ∈ [a,b]×[c,d], 令 . ( , ) ( , ) ( , ) t f x y t f x y x t + − ϕ = 其中和t ≠ 0并且 t 充分小, 使得 y + t ∈[c,d]. 则对任意 x ∈[a,b], 有 lim ( , ) ( , ). 0 x t f x y y t = ′ → ϕ 由微分中值定理和(10), 当 x ∈[a,b] 并且 t 充分小时, 成 ϕ(x,t) ≤ g(x). 因此由推论 8, 0 ( , ) lim ( , ) ( , ) . b bb y a aa t d f x y dx x t dx f x y dx dy ϕ → = = ′ ∫ ∫∫ 因此函数 () (, ) b a I y f x y dx = ∫ 可导, 并且(11)成立. ■. 小 结 本节介绍了积分的极限定理. 主要是三个重要定理, 即单调收敛定理, Fatou 引 理和控制收敛定理, 它们分别适用于不同的情况.与关于 Riemann 积分的相应结果比较, 本 节所介绍的积分的极限定理的条件较少而且较容易验证, 因此它们在理论推导和积分计算 方面有广泛的应用. 习 题 习题四, 第 15 题—第 25 题