二、中心 1.定义3：当(X,Y)0,即X:Y为非渐近方向时，二次曲线F(x,y)=0与直线 x=x+沿 1:y=名+疗总交于两个点（两个不同实点或两个重合实点或一对共轭虚点），把由这 两点所决定的线段叫做二次曲线的弦 2.定义4：1果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点（因而C是二次曲线的对 称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心。 3.定理1：点C(x0,y0)是二次曲线F(x,y)=0的中心的充要条件是 (区，)=本+az+=0, 可（不，y)=ax+aa片+a3=0 证明：设点C(x0,y0)是二次曲线I的中心，那么过点C(x0,y0)月以二次曲线T x=无+0 的任意非渐进方向X:Y为方向的直线1：y=片+分与二次曲线Γ交于两点M1,M2, x=无+0 点C(x0,y0)就是弦M1M2的中点，将y=名+2代入二次曲线T的方程可得 (X,Y)t2+2[F1(x0,y0)X+Ff2(x0,y0)Y]t+F(x0,y0)=0, 此方程有两个根t1,t2,则M1,M2的坐标为(x0+Xt1,y0+Yt1)和(x0+Xt2,y0+Yt2). 所以中点C的坐标为 1 1 x0=2(x0+Xt1+x0+Xt2)=x0+2X(t1+t2), 1 1 y0=2(y0+Yt1+y0+Yt2)=y0+2Y(t1+t2), 从而有 t1+t2=0, 即 XF1(x0,y0)+YF2(x0,y0)=0 山X:Y的任意性得F1(x0,y0)=0,F2(x0,y0)=0. 反过来，适合上面两式的点C(x0,y0),显然是二次曲线Γ的中心. 推论1：坐标原点是二次曲线的中心的充要条件是曲线方程中不含x与y的一次项. 推论2：二次曲线T:F(x,y)=0的中心坐标山下列方程组决定 x)4x+4y+4=0, (x.y)=a:x+any+an=0. 4.定义5：有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线，没有中心的二次曲线叫做 无心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线，无心二次曲线与线心 二次曲线统称为非中心二次曲线