31.已知n阶方阵 +1 +1 n+1 A ana1 an@2+ l 其中∑a=1,∑a2=n i=1 (1)求A的全部特征值 (2)求A的行列式和迹.(2012年国科大) 设 4-10 4-32 给定初值a=5,a1=7,a2=8,求xn的通项.(2017年国科大) 3.设A是n阶实对称矩阵,且 (1)证明r(A)≥n 2)证明A的特征值各不相同.(2017年国科大) 34.证明:8个满足A3=0的5阶复数矩阵中必有两个相似.(2018年国科大) 四证明题 1.三阶实矩阵A的特征多项式为x3-3x2+4x-2.证明:A不是对称阵也不是正交阵.(2016年北京大 学) 2.设V是全体次数不超过n的实系数多项式组成的线性空间.定义线性变换 A:f(x)→f(1-x) 求A的特征值和对应的特征子空间.(2016年北京大学) 3.证明n阶 Hermite矩阵A有n个实特征值(考虑重数).(2017年北京大学) 0a0 4.证明:实矩阵ba-aa(a≠0)有两个正的特征值,两个负的特征值.(201年北京工业大学)31. Ænê A =   a 2 1 a1a2 + 1 · · · a1an + 1 a2a1 + 1 a 2 2 · · · a2an + 1 . . . . . . . . . ana1 ana2 + 1 · · · a 2 n   , Ÿ• Pn i=1 ai = 1, Pn i=1 a 2 i = n . (1)¶A‹Aä. (2)¶A1™⁄,. (2012cIâå) 32.    x3n x3n + 1 x3n+2   =   3 −2 1 4 −1 0 4 −3 2     x3n−3 x3n − 2 x3n−1   . â½–äa0 = 5, a1 = 7, a2 = 8 ,¶xn œë. (2017cIâå) 33. A¥n¢È°› ,Ö A =   a1 b1 b1 a2 b2 b2 . . . . . . . . . . . . bn−1 bn−1 an   , bj 6= 0. (1)y²r(A) ≥ n − 1 . (2)y²AAäàÿÉ”. (2017cIâå) 34. y²:8á˜vA3 = 0 5EÍ› •7k¸áÉq. (2018cIâå) o.y²K 1. n¢› AAıë™èx 3 − 3x 2 + 4x − 2. y²: Aÿ¥È° èÿ¥ . (2016cÆå Æ) 2. V ¥NgÍÿáLn¢XÍıë™|§Ç5òm. ½¬Ç5CÜ A : f(x) → f(1 − x) ¶AAä⁄ÈAAfòm. (2016cÆåÆ) 3. y²nHermite› Akná¢Aä(ƒ­Í). (2017cÆåÆ) 4. y²: ¢›   d a b 0 a 0 a 0 b a −d a 0 0 a 0   (a 6= 0)k¸áAä, ¸áKAä. (2010cÆÛíåÆ) 10 厦门大学《高等代数》