(②)一般来说，向量组的极大线性无关组不是唯一的，但这些极大线性无关组是等价的，从而每个极大 线性无关组中所含向量的个数都是，即个数是由原向量组唯一确定的， 2.向量组的秩：向量组a1,a2,·,a,的极大线性无关组所含向量的个数r称为该向量组的秩，记为r(Q1,a2,·,a,) 3.矩阵的秩：矩阵A中非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记作r(A) (1)矩阵A的秩r(4)=r=A中有阶子式不为0，r+1阶子式（若还有）全为0： (2)矩阵A的秩r(A)≥r=A中有r阶子式不为0： (3)矩阵A的秩r(A)<r三A中阶子式全为0 (④)若A为非零矩阵，则r(4)≥1 4,向量组的秩与矩阵的秩的关系 (1)r(A)=A的行秩（矩阵A的行向量组的秩）=A的列秩（矩阵A的列向量组的秩）. (②)经初等变换矩阵，向量组的秩均不变因此(A)为A的行阶梯形矩阵中非零行的个数。 (③)若向量组A可由向量组B线性表出，则r(4)≤r(B)特别地，等价的向量组具有相同的秩 5.如何求向量组（矩阵）的秩 a),(①利用初等行变换化A为行阶梯形矩阵.则行阶梯形矩阵的非零行的个数即 为r(A:(②)利用矩阵的秩的定义 六矩阵的秩的垂要公式 1.T(4)=r(AT);2.r(4+B)≤r(4+r(B:3.r(kA)=r(A),k≠0： 4.r(AB)≤min(r(A),r(B):5.若A是m×n矩阵，则r(A)≤mim{m,n: 5.若A可逆，则r(AB)=r(B):若B可逆，则r(AB)=r(A: 6.若A是m ×n矩阵，B是n×矩阵，如AB=0,则()+r(B)≤ ）=n 7.r(4)= 1,r(4=n-1 0,r(A)<n 8.设A为m×n矩阵.则：r(ATA)=r(A) 注()等价向量组具有传递性，对称性及反身性.但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样 (2)任 一向量组和它的极大无关组等价 (3)向量组的任意两个极大无关组等价」 ()两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同. (5)等价的向量组具有相同的秩但秩相同的向量组不一定等价 (6)如果向量组(A)可由向量组(B)线性表出且A) (B),则(A)与(B)等价 ()关于AB=0要有两种构思 是B的列向量是齐次方程组Ar=0的解一是秩r(A+r(B)≤n (8)认真体会矩阵、向量和线性方程组之间的联系. 七，Schmid正交单位化 (1)若a1.a线性无关. (正交化：」 a-8 ()单位化：记 高，=1,2 (②)若a1,2,a3线性无关两两正交，则只需单位化：记=高，i=1,2,3. 八，向量空间 1.定义设V为n维实向量的非空集合，若a+B,ka∈V对任意a,月∈V及实数k,称V为向量空间.(2) òÑ5`,ï˛|4åÇ5Ã'|ÿ¥çò,˘ 4åÇ5Ã'|¥d,l zá4å Ç5Ã'|•§¹ï˛áÍ—¥r,=áÍr¥dï˛|çò(½. 2.ï˛|ù: ï˛|α1, α2, · · · , αs4åÇ5Ã'|§¹ï˛áÍr°èTï˛|ù,Pèr(α1, α2, · · · , αs) = r. 3.› ù: › A •ö"f™ÅpÍ°è› Aù,Pär(A). (1) › Aùr(A) = r A•krf™ÿè0, r + 1f™(eÑk)è0; (2) › Aùr(A) ≥ r A •krf™ÿè0; (3) › Aùr(A) < r A •rf™è0; (4) eAèö"› ,Kr(A) ≥ 1. 4. ï˛|ùÜ› ù'X (1) r(A) = A1ù(› A1ï˛|ù)= Aù(› A ï˛|ù). (2) ²–CÜ› ,ï˛|ù˛ÿC.œdr(A)èA1F/› •ö"1áÍ. (3) eï˛|Aådï˛|BÇ5L—,Kr(A) ≤ r(B) AO/,dï˛|‰kÉ”ù. 5. X¤¶ï˛|(› )ù -A = (α1, α2, · · · , αn), (1) |^–1CÜzAè1F/› ,K1F/› ö"1áÍ= èr(A); (2) |^› ù½¬. 8,› ù­á˙™ 1. r(A) = r(AT ); 2. r(A + B) ≤ r(A) + r(B); 3. r(kA) = r(A), k 6= 0; 4. r(AB) ≤ min(r(A), r(B)); 5. eA¥m × n› ,Kr(A) ≤ min{m, n}; 5. eAå_,Kr(AB) = r(B);eBå_,Kr(AB) = r(A); 6. eA¥m × n› , B¥n × p› ,XAB = 0,Kr(A) + r(B) ≤ n. 7. r(A∗ ) =    n, r(A) = n 1, r(A) = n − 1 0, r(A) < n 8. Aèm × n› , K: r(AT A) = r(A). 5 (1)dï˛|‰kD45,È°59á5.ï˛áÍå±ÿò,Ç5É'5èå±ÿò. (2)?òï˛|⁄ß4åÃ'|d. (3)ï˛|?ø¸á4åÃ'|d. (4)¸ádÇ5Ã'ï˛|§¹ï˛áÍÉ”. (5)dï˛|‰kÉ”ù,ùÉ”ï˛|ÿò½d. (6)XJï˛|(A)ådï˛|(B)Ç5L—Ör(A) = r(B),K(A)Ü(B)d. (7)'uAB = 0 ák¸´g:ò¥Bï˛¥‡gêß|Ax = 0),ò¥ùr(A) + r(B) ≤ n. (8)@˝N¨› !ï˛⁄Ç5êß|ÉmÈX. ‘,Schmidt¸†z (1) eα1, α2Ç5Ã', (i) z: β1 = α1, β2 = α2 − (α2,β1) (β1,β1) β1. (ii) ¸†z: Pγi = βi |βi| , i = 1, 2. (2) eα1, α2, α3Ç5Ã'¸¸,KêI¸†z: Pγi = βi |βi| , i = 1, 2, 3. l,ï˛òm 1. ½¬ V ènë¢ï˛öò8‹, eα + β, kα ∈ V È?øα, β ∈ V 9¢Ík, °V èï˛òm. 3