(①)齐次线性方程组的解集S={z4缸=0}是一个向量空间，称为齐次线性方程组的解空间，非齐次 线性方程组的解集3={4x=}不是一个向量空间. …,a,∈V,L(a1,2,…,)={1a1+k22++k,ak1,…,k∈称为由a1,a2,…,a,V生 2.基和坐标 ()设V为向量空间，V作为向量组其极大线性无关组成为V的一个基，极大线性无关组中向量的个 数（即V的秩）称为v维数，记为di 得B=1a1+202+…+工r0r,称x=(1,2,…,)F为3关于基01，…，ar的坐标. 令A=(a,…,ar),则x=c1,2,…,工，)T为B关于基a1,…,a,的坐标当且仅当r=(c1,2,…,工)T为 线性方程组Ax=的解 (i)dimL(o, 3.即变换和坐标变换 设设V为r维向量空间，a1,…,a,月1，…，B,为V的两个基，则品1，…，3，与a1,…,a,等价，因此存在r阶 矩阵P,Q使得(1, 8) 到8 ,的 一定为可逆矩阵 九，常考题型及解题方法与技巧 题型一，线性组合，线性相关的判别 例8.1)若a1=1,0,5,2T,a2=(3,-2,3,-4T,a3=(-1,1.,3)T线性相关则t=( (②)若a1=(1,-1,2,4)T,2=(0,3,1,2)T,ag=(3,0,7,a),a4-(1,-2,2,0)F线性无关则a的取值 范围为(). (3)(2005)若a1=(2,1,1,1)T,a2=2,1,a,a)T,a4=(3,2,1,a)T,a4=(4,3,2,1)T线性相关且a≠ 1.则a=」 雅00浪a=名-10.o西-109，=21oP若生度的的是空间的 例8.21)(2006)设a,a2,a,为n维列向量，4是m×n矩阵，下列选项正确的是 (A)若a4,a2,a,线性相关，则Aa4,Aa2,Aa,线性相关 (B)若a1,2,a,线性相关，则Aa1,Aa2,Aa,线性无关 (C若a1,a2,a,线性无关则Aa1Aa2,Aa,线性相关 (D)若a1,2,a,线性无关，则A1,Aa2,Aa,线性无关 (2)(2006)设向量组1：a1,a2, ,,可以由向量组1：，32，…，3，线性表示。 ()若r<8,则向量组线性相关：(B)若r>s,则向量组I线性相关： 4 (1) ‡gÇ5êß|)8S = {x|Ax = 0}¥òáï˛òm, °è‡gÇ5êß|)òm,ö‡g Ç5êß|)8S = {x|Ax = b}ÿ¥òáï˛òm. (2) α1, α2, · · · , αs ∈ V ,L(α1, α2, · · · , αs) = {k1α1+k2α2+· · ·+ksαs|k1, · · · , ks ∈ R}°èdα1, α2, · · · , αsV ) §ï˛òm. 2. ƒ⁄ãI (i) V èï˛òm, V äèï˛|Ÿ4åÇ5Ã'|§èV òáƒ, 4åÇ5Ã'|•ï˛á Í(=V ù)°èV ëÍ, Pèdim(V ), œddim(V ) = r(V ). (ii) V èrëï˛òm, åα1, · · · , αrèV òáƒ, È?øβ ∈ V , 3çòò|Íx1, x2, · · · , xr¶ β = x1α1 + x2α2 + · · · + xrαr, °x = (x1, x2, · · · , xr) Tèβ'uƒα1, · · · , αrãI. -A = (α1, · · · , αr),Kx = (x1, x2, · · · , xr) Tèβ'uƒα1, · · · , αrãIÖ=x = (x1, x2, · · · , xr) Tè Ç5êß|Ax = β). (iii) dimL(α1, α2, · · · , αs) = r(α1, α2, · · · , αs). 3. =CÜ⁄ãICÜ V èrëï˛òm, α1, · · · , αr, β1, · · · , βrèV ¸áƒ,Kβ1, · · · , βrÜα1, · · · , αrd, œd3r › P, Q¶(β1, · · · , βr) = (α1, · · · , αr)P,(α1, · · · , αr) = (β1, · · · , βr)Q°Pèdα1, · · · , αrβ1, · · · , βr Lfi› , Qèdβ1, · · · , βrα1, · · · , αrLfi› . åP Q = E, œdLfi› ò½èå_› . , ~K.9)Kê{ÜE| K.ò, Ç5|‹,Ç5É'O ~8.1(1) eα1 = (1, 0, 5, 2)T , α2 = (3, −2, 3, −4)T , α3 = (−1, 1, t, 3)TÇ5É',Kt = ( ). (2) eα1 = (1, −1, 2, 4)T , α2 = (0, 3, 1, 2)T , α3 = (3, 0, 7, a) T , α4 = (1, −2, 2, 0)T .Ç5Ã',Kaä âåè( ). (3) (2005)eα1 = (2, 1, 1, 1)T , α2 = (2, 1, a, a) T , α3 = (3, 2, 1, a) T , α4 = (4, 3, 2, 1)T .Ç5É'Öa 6= 1,Ka = . (4) (2010,1)α1 = (1, 2, −1, 0)T , α2 = (1, 1, 0, 2)T , α3 = (2, 1, 1, a) T ,edα1, α2, α3)§ï˛òm ëÍ¥2,Ka = . ~8.2(1) (2006)α1, α2, αsènëï˛, A¥m × n› , e¿ë(¥ (A) eα1, α2, αsÇ5É', KAα1, Aα2, AαsÇ5É'. (B) eα1, α2, αsÇ5É', KAα1, Aα2, AαsÇ5Ã'. (C) eα1, α2, αsÇ5Ã', KAα1, Aα2, AαsÇ5É'. (D) eα1, α2, αsÇ5Ã', KAα1, Aα2, AαsÇ5Ã'. (2) (2006)ï˛|I : α1, α2, · · · , αrå±dï˛|II : β1, β2, · · · , βsÇ5L´. (A) er < s, Kï˛|IIÇ5É'; (B) er > s,Kï˛|IIÇ5É'; 4