回顾与补充：解线性方程的迭代方法 考虑迭代方程xk+1=Axk+b 令x为其中一个不动点 ·Xk+1-X*=A(k-X*) ·Xk-X*=AK(x0-X*) 为什么Ak→0（即p(A)<1)的时候对任意初始值都收敛？ ·Ilxk-xl=Ak(xo-x)‖≤‖Alxo-x.川 ·xk=Axk-1+b=A(Axk-2+b)+b=… ·xk=Akx0+(Ak-1+Ak-2+…+）b =Akxo+(IA)-1(I-Ak)b 存在唯一的不动点：x*=Ax*十b→x*=(I-A)一1b 3 回顾与补充：解线性方程的迭代方法 考虑迭代方程��"� = ��� + � 令�∗为其中一个不动点 • ��"� − �∗ = �(�� − �∗) • �� − �∗ = ��(�� − �∗) 为什么�� → � （即� � < 1）的时候对任意初始值都收敛？ • �� − �∗ = ��(�� − �∗) ≤ �� �� − �∗ • �� = ���*� + � = � ���*� + � + � = ⋯ • �� = ���� + ��*� + ��*� + ⋯ + � � = ���� + � − � *� � − �� � • 存在唯一的不动点：�∗ = ��∗ + � ⇒ �∗ = � − � *�� 3