第50卷第1期 复旦学报(自然科学版) Vol 50 No. 1 2011年2月 Journal of Fudan University(Natural Science) Feb.2011 文章编号:0427-7104(2011)01- 运用 Newton微元法求解概率密度函数 朱慧敏 (复旦大学数学科学学院,上海200433) 摘要:利用 Newton微元法求连续型随机变量函数的概率密度,可使其与求离散型随机变量函数的概率分布 的计算方法相统一,因而这种方法更直观简单,尤其在求解复杂的随机变量函数的概率密度时,此方法更胜 关键词: Newton微元法;概率密度函数;连续型随机变量;随机变量函数 中图分类号:O1 文献标志码:A 在概率论中求随机变量函数的分布是一个很基本的问题,即设f是已知函数,若随机变量和n满足 =f(),则称n是的函数所谓求随机变量函数的分布,就是已知随机变量的分布,要求的分布 若是离散型随机变量其分布为P(=x)=p,k=1,2,…;∑p=1.记n的可能取值为{y 2,…}={f(xk)|k=1,2,…},则n的分布为 7=y 若安和η都是连续型随机变量,为了求n的密度函数,常用的办法是先求出累积分布函数,然后求导 得到密度函数,在本文中,利用 Newton微元法,对连续型随机变量可以计算其在一点的微概率,记g(x) 为的概率密度,则P(=x)=ge(x)|dx|,其中|dx是x轴上一点的长度,由此,在一个区间上的 概率 P(ELa, b]=pe(x)I dx|= 9:(r)da 即可看成是它在每一点微概率的总和注意,微概率的积分与积分上下限的顺序无关: P∈[ab)=9x)|dr|= p: (x)dr. 按照这样的想法,我们就可以像处理离散型随机变量函数那样,来求连续性随机变量函数n(n f()的概率密度了 y)Idyl=P(n=y)=P(f(s)=y 1求解一维连续型随机变量的函数的概率密度 当η均为连续型随机变量时,若的概率密度为g:(x),∫(x)是一个连续函数,n=f(),则为了求 出n的概率密度gn(x),通常的方法是 1)先求=f()的分布函数:P(≤y)=F2(y)= 收稿日期:2010-09-25 作者简介:朱慧敏(1963-),女,硕士,讲师,E-mal:huzhu@fudan.edu.cn.!"#$!!"#"$"'$!; )*+,!Ð݆!#'67$"%2%X4%56%,$-./0&C-5C4!L42.?8<2489?8 -./0!"%!&$&#"%!!"##""#$ œÀ H1B/-;®Õ=ôõö]÷óñ` $¥¦ !DE:& l&%&&?%78!""%77" C D!`a Q<[A:?8¼X 67l²~ˆ%kl^íhq^%اî+ &'l²~ˆ%kl^íhij ^{OWX÷sS%I‡¦NWX/Áó÷e%ªîK ˆDÌ^²~ˆ%kl^íhq^\%®WX/Þ Sß' EFG!Q<[A:?8¼X#íhq^kl#67l²~ˆ%#²~ˆ%kl HIJK0!]# -LMNO!D Kíhn‚ ²~ˆ%kl^ijoS¢o'Ï^QR%Æz3oìÄkl%œ²~ˆ%8¬.ÈÉ .U3!8"%$v.o8^kl'‘ ²~ˆ%kl^ij%’oìIJ~ˆ%8^ij% .^ij' œ8o&'l²~ˆ%%îijœ?!8U%9"U(9%9U#%!%*## T 9"# (9 "#'(.^ØÝVžœ)2H%H" #%!%*+" )3!%9"9"#%!%*+%$.^ijœ ?!."2H""3!% #9""2H (9 H"#%!%* ' œ8¬.’o67l²~ˆ%%œJ .^q^kl%Ša^tXoÓ Ißäijkl%$Ÿ L ¨»q^kl'KÏ´‚%`a Q<[A:?8¼X%u67l²~ˆ%ر{OîKSÅ^8íh%(+8!%" œ8^íhq^%$ ?!8U%"U+8!%"2% %î‚ 2% o% :7SÅ^s^%Z®%8KS¢:á7^ íh& ?!8"'#%M("" / M # +8!%"2% " / M # +8!%"2%% Æ؁JoiKmSÅ8íh^Ò¬'ƒV%8íh^äi+äi7w™^©Ä¥Q& ?!8"'#%M("" / # M +8!%"2% "1 / # M +8!%"2%" / M # +8!%"2%' ܞ¦%^ˆX%ê’رŠªG&'l²~ˆ%klT%%¬ 67[²~ˆ%kl.!.U 3!8""^íhq^J& +.!2"22 U?!.U2"U?!3!8"U2"' #  ˆS367l²~ˆ%^kl^íhq^ S8%.œ67l²~ˆ%\%œ8^íhq^œ+8!%"%3!%"oS¢67kl%.U3!8"%$œJ  I.^íhq^+.!%"%<Š^WX'#(o& #"Ó .U3!8"^ijkl&?!.)2"U*.!2"U 3 / !%")2 +8!%"2%# ¡;"& ¡#" !"##'!( D E & ø !#$%&)" B:4=?.0:L@42.?P?/J<=>/AK!Q.A4=.0R9/<?9<" S:08;"Q:8# @<M8!"##