朱慧敏:运用 Newton微元法求解概率密度函数 2)然后求导得出的概率密度:93(y)=F(y) 然而,在某些情况下,{x|f(x)≤y}是一个比较复杂的集合,上述的方法就必须先在这复杂的集合上 积分,然后再求导以完成最终的计算.这是一种比较繁琐的过程,尤其是对于比较复杂的问题,更是让人 望而却步. 注意到积分与求导是互逆的运算,利用 Newton微元法可以避免这种“重复”计算,如同离散型随机 变量那样,通过相应点的概率密度的相加直接得到所求的结果. 2用牛顿微元法求解概率密度(一) 定理1设是连续型随机变量,其概率密度记为9:(x),n=f(),设f(x)满足:整个实轴除去一个 零集后,可划分为若干个两两互不重叠的区间(ak,b),使得在每一个区间(ak,b)上,y=f(x)严格单调并 且有惟一具有连续导数的反函数x=gk(y),区间(αA)为值域则η也是连续型随机变量,其概率密度 (y)为 ∑g(x4(y)|g4(y)y∈U(ak,), (1) y∈U(akA) 证利用 Newton微元法求g(y),设y∈U(a,A) P, (y)Idyl=P(n=y)=P(f(s)=y) (2) 由已知,当y∈(a,R)时,y=f(x)在x∈(ak,bh)上有对应的反函数x=gk(y),故 P(f()=y) P ly∈(a) klye q B), e(g:(y))Id(g+(y))I 2 e(g:(y))Igi(y)II dyl (3) ly∈aA 则由(2)和(3)式,约去|dy得:gn(y) 19:(g(y)gk(y)| 当y∈u(a,A)时,P(f()=y)=0,故g(y)=0.(1)式得证 例1设连续型随机变量~Exp(λ),即的概率密度为 求随机变量v=tan的概率密度gn(y) 解如果直接利用定理1中的(1)式来计算g(y),需要找出定理1中的各个单调区间(ak,b),这既 繁琐又不必要[.为此,直接用 Newton微元法计算g(y),就不需要考虑区间的变换关系,而只要考虑点 的变换关系,既简便又清晰 当y>0时,tanx=y满足x>0的解为:x= arctan y+kr,k=0,1,2,…,则 P, (y).dyl=P(n=y)=P(tan s=y)=P(S=arctan y+k,k=0,1,2, " P(=arctan y+kr)=2Ae-xaretan yt*) I d arctan yl m∑ea|dyl 所以, g(y)=422·1!"$Ÿ L¨I.^íhq^&+.!2"U*6.!2"' $‡%K£"tuw%)% 3!%")2+oS¢.¢DÌ^ÛÜ%73^WX’×ÓK¦DÌ^ÛÜ7 äi%$Ÿ2 L±CJ1q^{O'¦oSN.¢`à^½~%ªîou<.¢DÌ^QR%/oL© #‡É' ƒV»äi+ Lo¡[^=O%`a Q<[A:?8¼Xر¹º¦N5?D6{O%x_&'l²~ ˆ%T%%<½÷†Å^íhq^^÷îÁ¨» ^üû' ! aáâ8¼X ˆíhq^!S" R4! z8o67l²~ˆ%%îíhq^(œ+8!%"%.U3!8"'z3!%"ÈÉ&¢:wMS¢ \۟%ØCiœœÈ¢°°¡t?ã^:á!#9%M9"%§¨KmS¢:á!#9%M9"7%2U3!%"¿Àef_ gY=SƒY67Ll^ekl%U49!2"%:á!$9%%9"œžG'$.Ço67l²~ˆ%%îíhq^ +.!2"œ +.!2"U )92" # !$9%%9"+ +8!%9!2""469!2" 2"< T 9"# !$9%%9"% " 2;< T 9"# !$9%%9" * + , ' !#" L `a Q<[A:?8¼X +.!2"%z2"< T 9U# !$9%%9"% +.!2"22 U?!.U2"U?!3!8"U2"' !!" ZìÄ%S2"!$9%%9"\%2U3!%"K%"!#9%M9"7Yu†^ekl%U49!2"% ?!3!8"U2"U )92" # !$9%%9"+ ?!8"%9!2""" )92" # !$9%%9"+ +8!49!2""2!49!2""" )92" # !$9%%9"+ +8!49!2""469!2" 22 % !7" $Z!!"¬!7"`%M 22 ¨&+.!2"U )92" # !$9%%9"+ +8!49!2""469!2"' S2;< T 9U# !$9%%9"\%?!3!8"U2"U"%+.!2"U"'!#"`¨L' E# z67l²~ˆ%8",3Y!!"%Æ8^íhq^œ +8!%"U !<V!% %&"% ) " %)"%  ²~ˆ%.UA.?8^íhq^+.!2"' ˆ xûÁÂ`a­G#‚^!#"`¬{O+.!2"%nªI­G#‚^4¢ef:á!#9%M9"%¦’ `àþt'!( 'œ®%ÁÂa Q<[A:?8¼X{O+.!2"%’tn÷):á^ˆHQD%‡}÷)Å ^ˆHQD%’÷ÑþÙä' S2&"\%A.?%U2ÈÉ%&"^ˆœ&%U.=9A.?2W9;%9U"%#%!%*%$ +.!2". 22 U?!.U2"U?!A.?8U2"U?!8U.=9A.?2W9;%9U"%#%!%*"U # T 9"" ?!8".=9A.?289;"" # T 9"" !<1!!.=9A.?289;" 2.=9A.?2 " # #82!!<1!.=9A.?2 # T 9"" <19;! 22 % ±% +.!2"U!<V!.=9A.?2 #V<V;! . # #W2!' ¡#" Ð݆&=a Q<[A:?8¼X ˆíhq^kl '"