复旦学报(自然科学版) 第50卷 当y<0时,tanx=y满足x>0的解为:x= arctan y+kr,k=1,2,…,则 P,().dyl=P(n=y)=P(tan 5=y)=P(S==arctan y+kI,k=1,2,") ∑P(= arctan y+kx)=∑ e-xCaretan y++)I d arctan yl k=1 1+y2 de A(rt aretas y) 所以,9(y)=1-。-a 当y=0时,由于g(y)在零集上的值不影响概率的计算,故取g(0)=93(0+),所以, k=0,1,2,… de-Acrtaretan y) 1 1-e-1+y2 3用牛顿微元法求解联合概率密度(二) 概率密度反映的是连续型随机变量取x邻域内值的概率大小,因此,它是了解连续型随机变量的有 力工具.在实际冋题中,又常常需要计算多个连续型随机变量函数的概率密度 计算二维连续型随机变量函数的概率密度时,我们也可以计算其在一点的微概率 P(S=-x. =y)=p(x,y)drdy 其中g(x,y)为连续型随机变量和η的联合概率密度,则 P((s,n)∈D) (x, y)drd 为二维连续型随机变量在一个区域上的概率,也可看成是它在每一点微概率的总和 定理2设和n为连续型随机变量,其联合概率密度为g(x,y).随机变量函数{=f(,ny),r g(,ny).设(u,)=(f(x,y),g(x,y)满足:(x,y)平面除去一个零集后,可分解成互不相交的开区域D 的并,在每个D上(a,v)=(f(x,y),g(x,y)都有连续可微的反函数(x,y)=(sk(u,v),tk(u,),且其 值域为R.则随机变量函数的联合概率密度g(u,为 96y((,)(,0)((n,0,(, D(u, v (u,)∈∪R, 其他 证利用 Newton微元法求gn(a,),设(u,v)∈∪R,则 P(t )(u, u)dudu=P(s=u,t=v=P(f(s, p)=u,g(s, n=v) 由已知当(u,v)∈Rk时,(u,v)=(f(x,y),g(x,y)在(x,y)∈D上有对应的反函数(x,y) (sk(u,v),tk(u,)),故 P(f(,y)=a,g(,n)=v) P(E=Sk(u,v) {l(m,)∈R Pe(s(u,D),t (u,v)) D(s (u, v),tr(u,v)) ∑gs(sx(u,),t4(a,v) D(se (u, v),t: (u, v)) (u,v)∈URk, 则 其他S2."\%A.?%U2ÈÉ%&"^ˆœ&%U.=9A.?2W9;%9U#%!%*%$ +.!2". 22 U?!.U2"U?!A.?8U2"U?!8U.=9A.?2W9;%9U#%!%*"U # T 9"# ?!8".=9A.?289;"" # T 9"# !<1!!.=9A.?289;" 2.=9A.?2 U # #82!!<1!.=9A.?2 # T 9"# <19;! 22% ±%+.!2"U!<V!!;W.=9A.?2" #V<V;! . # #W2!' S2U"\%Z<+.!2"K\Û7^žt•íh^{O%V+.!""U+.!"W"%±% +.!2"U !<V!.=9A.?2 #V<V;! . # #W2! 2$" !<V!!;W.=9A.?2" #V<V;! . # #W2! 2. * + , " 9U"%#%!%* ' 7 aáâ8¼X ˆžÜíhq^!5" íhq^e\^o67l²~ˆ%V%*GǞ^íh:ç%I®%ioJˆ67l²~ˆ%^Y yÿƒ'KBQR‚%þŠŠn{OŒ¢67l²~ˆ%kl^íhq^' {O5367l²~ˆ%kl^íhq^\%êÇر{OîKSÅ^8íh& ?!8U%%.U2"U+!%%2"2%22% î‚+!%%2"œ67l²~ˆ%8¬.^žÜíhq^%$ ?!!8%.""W""UW +!%%2"2%22 œ5367l²~ˆ%KS¢:G7^íh%Ç؁JoiKmSÅ8íh^Ò¬' R4" z8¬.œ67l²~ˆ%%îžÜíhq^œ+!%%2"'²~ˆ%kl-U3!8%."%*U 4!8%."'z!-%."U!3!%%2"%4!%%2""ÈÉ&!%%2"åÔwMS¢\۟%ØiˆJ¡t÷;^è:GW9 ^_%Km¢W9 7!-%."U!3!%%2"%4!%%2""’Y67Ø8^ekl!%%2"U!C9!-%."% G9!-%.""%gî žGœB9'$²~ˆ%kl^žÜíhq^+!-% *"!-%."œ +!-% *"!-%."" )9!- #%.""B9+ +!8%."! C9!-%."% G9!-%.""W! C9!-%."% G9!-%."" W!-%." !-%.""< T 9"# B9% " î¶ * + , ' L `a Q<[A:?8¼X +!-% *"!-%."%z!-%.""< T 9U# B9%$ +!-% *"!-%."2-2.U?!-U-% *U."U?!3!8%."U-%4!8%."U."' ZìÄS!-%.""B9 \%!-%."U!3!%%2"%4!%%2""K!%%2""W9 7Yu†^ekl!%%2"U ! C9!-%."% G9!-%.""% ?!3!8%.""-%4!8%.""."" )9 !- #%.""B9+ ?!8"C9!-%."%."G9!-%.""" )9 !- #%.""B9+ +!8%."! C9!-%."% G9!-%.""W! C9!-%."% G9!-%."" W!-%." 2-2.% $ +!-% *"!-%."" )9 !- #%.""B9+ +!8%."! C9!-%."% G9!-%.""W! C9!-%."% G9!-%."" W!-%." !-%.""< T 9"# B9% " î¶ * + , ' '# D E & ø!#$%&)" ¡;"&