线代辅导2 1.检验下列集合对指定的加法和数量乘法,是否构成所给域上的 线性空间若是,给出基和维数。 (5,6)C(C)C(R)R(C)R(R);Q(R)对通常数的加法和数量乘法。 解{1};{1,};不是;{1};不是 (2)R2(R)对向量加法和如下定义的数量乘法 1.Aoa=0.2.Aoa=a。 解都不是。因为1中1。a≠a,2中(k+1)a≠ka+lo (10)V1(R)={f|x∈R,f(x)∈R,且f(-x)=-f(x) 2(R)={f|x∈R,f(x)∈R,f(0)=1,且f(-x)=f(x)} 对通常的函数加法和数与函数的乘法。 解V1是,V2不是。 (12)平面上终点在第一象限的向量对向量加法数量乘法。 解不是。 2.判断下列子集是否为给定线性空间的子空间(对R中的子集并 说明其几何意义): W={(x1,…,x)∈F"|a1x1+a2x2+…+anxn=0, a1∈F为固定数} 答是。与向量(a,a2,a)正交的过原点的n维平面上的全体向 里 (5)W={p(x)∈F[x]p()=0}, H2={p(x)∈R[xln|p(1)=p(0)} 答是。(p+q(1)=0;(kp1)=0,vp(x),qx)∈W (6)W={∈F(R,R)f(-x)=f(x),Vx∈R},其中F(R,R)是所有 实变量的实值函数对通常的函数加法及数与函数的乘法在实数域 上构成的线性空间 答:是。偶函数的和与数乘还是偶函数 加题f(-x)=f(x)偶函数集且f(0)=1,则不是其子空间因为加法没 有单位元。 4.设a12a2,a3∈R",q1C2,C3∈R,如果 ca1+ca2+ca3=0,且cc3≠0.证明L(12a2)=L(a2,a3) 证明 (c1a1+c2a2),又a1=--(c3a3+c2a2) 所以{a1,a2}与{a2,ax3}等价。 6.设a=(10,1)a2=(1,1,0),∝3=(-1,2),问下列B,B2属于 L(1,a2a3)吗?如属于,它们由a1a2a3线性表示唯一吗?为什 么? (1)B1=(1,-1-1) (2)B2=(1,2,-1线代辅导 2 1．检验下列集合对指定的加法和数量乘法, 是否构成所给域上的 线性空间.若是，给出基和维数。 (5,6) C(C); C(R); R(C); R(R)；Q(R) 对通常数的加法和数量乘法。 解 {1}；{1, i}; 不是; {1}; 不是。 (2) R2 (R) 对向量加法和如下定义的数量乘法： 1．  = 0; 2.   = 。 解 都不是。因为 1 中 1 ; 2中(k + l) k + l 。 (10） V1 (R) = { f | x  R, f (x) R,且f (−x) = − f (x)}； ( ) { | , ( ) , (0) 1, ( ) ( )}. 2 V R = f x  R f x  R f = 且f −x = f x 对通常的函数加法和数与函数的乘法。 解 V1 是，V2 不是。 (12) 平面上终点在第一象限的向量对向量加法数量乘法。 解 不是。 2. 判断下列子集是否为给定线性空间的子空间(对 3 R 中的子集并 说明其几何意义)： (1) } {( , , ) | 0, 1 1 1 2 2 a F为固定数 W x x F a x a x a x i n n n n  =   + ++ = 答 是。与向量（a1,a2,an）正交的过原点的 n 维平面上的全体向 量。 (5) { ( ) [ ]| (1) 0}, W1 = p x F x p = { ( ) [ ] | (1) (0)}. W2 = p x  R x n p = p 答 是。(p+q)(1)=0; (kp)(1)=0, p(x), q(x) Wi. (6) W = { f  F(R,R) | f (−x) = f (x), x R}, 其中 F(R,R)是所有 实变量的实值函数对通常的函数加法及数与函数的乘法在实数域 上构成的线性空间. 答：是。偶函数的和与数乘还是偶函数。 加题 f(-x)= f(x)偶函数集且 f(0)=1，则不是其子空间.因为加法没 有单位元。 4. 设 n 1 ,2 ,3  R , c1 ,c2 ,c3  R, 如果 0, 0. c11 + c22 + c33 = 且c1 c3  证明. ( , ) ( , ). L 1 2 = L 2 3 证明 ( ) 1 ( ), 1 3 3 2 2 1 1 1 2 2 1 3 3    c  c  c c c c = − + 又 = − + 所以{1, 2}与{2, 3}等价。 6. 设 (1, 0,1), (1,1, 0), (1, 1, 2) 1 = 2 = 3 = − , 问下列 1 2  , 属 于 ( , , ) L 1 2 3 吗？如属于, 它们由 1 2 3  , , 线性表示唯一吗？为什 么？ (1) (1, 1, 1). 1 = − − (2) (1, 2, 1). 2 = −