答 B1=xa1+xa2+xa3无解,BgL(a1a2a3) B2=-a1+2a2,B2∈L(a1a2a3)a3=2a1-a2;不唯一。 7.判别下列向量组的线性相关性 (1)a1=(1,1.1.a2=(0,2,5)a3=(1,3,6)答:a2=a3-∞1.相关 (2)月=(1-12,4)B2=(0,3,12)B3=(30,714) 答:β3=3B1+B2相关 (3)Fx1中:p(x)=1,n(x)=(x-x),p(x)=(x-x),其中常数 x0∈R 答:kn+k2( (xx0)2=0→k=k2=k3=0.无关 10.下列命题是否正确?如正确,证明之,如不正确,举反例 (1)若ax1…,an(m>2)线性相关,则其中每一向量都是其余向量的 线性组合 答:否。如a2,1线性无关,∝2,,a线性相关2不是其余向量的 线性组合 (2)若a12…an线性无关,则其中每一向量都不是其余向量的线性 组合,这个命题的等价命题应如何叙述? 答:若存在一向量是其余向量的线性组合,则a1…an线性相关。 (3)a1…,an(m>2)线性无关的充要条件是任意两个向量都线性 无关 答:→对;<不对 (4)若a1a2线性相关,B,B2线性相关,则《1+B、a2+B2也线 性相关 答:否。a2=201,B2=B1,B1≠ka1 (5)若a12…an线性无关,则a1+a2,a2+a3…n1+an,an+a1也线性 无关 答:n为偶数时相关;n为奇数时无关因为 k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+…+kn(an+a1)=0,即 k1+kn)a1+(k1+k2)a2+…+(kn-1+kn)n=0, k tk=0 k1+k2=0 ,方程组的系数行列式当n为偶数n+,0 奇数非0 km-1+k,=0 (6)若a1a2,a3线性相关,则a1+a2a2+a3,a3+a1也线性相关 答:是。不妨设 a2可用a1,a2线性表示,则a1+a2,a2+ax,a3+a1 可用a1,a2线性表示。 (7)设B={a12a2a3}是R的一组基,非零向量a0∈R3,则 {a+a,a0+a2a0+a3}也是R的一组基 答:不对。取 a0=a1-a2-a3,则有a0+a1=(a0+a2)+(a+a3)线性相关,答： 不唯一。 无解， 2 , ( ); 2 ; ( ); 2 1 2 2 1, 2, 3 3 1 2 1 1 1 2 2 3 3 1 1, 2, 3                   = − +  = − = + +  L x x x L 7. 判别下列向量组的线性相关性： (1) (1,1,1), (0, 2, 5), (1, 3, 6). 1 = 2 = 3 = 答: 2= 3 -1.相关 (2) (1, 1, 2, 4), (0, 3,1, 2), (3, 0, 7,14). 1 = − 2 = 3 = 答：3= 31 +2 相关 (3) [ ] ( ) 1, ( ) ( ), ( ) ( ) , 2 3 1 2 0 3 0 R x 中：p x = p x = x − x p x = x − x 其中常数 . x0  R 答：k1+k2 (x-x0)+k3 (x-x0) 2=0 k1=k2 =k3=0. 无关。 10. 下列命题是否正确？如正确, 证明之, 如不正确, 举反例. (1) 若 , , ( 2) 1   m m  线性相关, 则其中每一向量都是其余向量的 线性组合. 答：否。如2, 1 线性无关, 2, -1, 1 线性相关.2 不是其余向量的 线性组合. (2) 若   m , , 1  线性无关, 则其中每一向量都不是其余向量的线性 组合, 这个命题的等价命题应如何叙述？ 答：若存在一向量是其余向量的线性组合,则   m , , 1  线性相关。 (3) , , ( 2) 1   m m  线性无关的充要条件是任意两个向量都线性 无关. 答：对；不对 (4) 若 1 2  , 线性相关, 1 2  , 线性相关, 则 1 + 1、2 + 2 也线 性相关. 答：否。 2 , , . 2 1 2 1 1 1 = =  k (5) 若  n , , 1  线性无关, 则 1 2 2 3 1 1  + , + ,  ,n− +n ,n + 也线性 无关. 答：n 为偶数时相关；n 为奇数时无关.因为 0 0 , 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0, 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 3 1 非 时为 奇数 偶数 方程组的系数行列式当 为 ， 即 n k k k k k k k k k k k k k k k n n n n n n n n n        + = + = + = + + + + + + = + + + + + + = − −             (6) 若 1 2 3  , , 线性相关, 则 1 2 2 3 3 1  + , + , + 也线性相关. 答：是。不妨设 可用 ， 线性表示。 可用 ， 线性表示，则 ， ， 1 2 3 1 2 1 2 2 3 3 1       +  +  + (7) * 设 { , , } B = 1 2 3 是 3 R 的一组基, 非零向量 3 0  R , 则 { , , } 0 +1 0 +2 0 +3 也是 3 R 的一组基. 答：不对。取 0 =1 −2 −3 ,则有0 +1 =（0 +2）+（0 +3）线性相关