(8)设B={a1,a2}是R2的一组基,则{a1+a2,ax-a1}也是R2的 组基 答:是。因为 0 9)一个有限维线性空间只含有有限个子空间 答:否,如过原点的平面,其上过原点的直线 (10)如果W,2是R"的两个子空间,B1,B2分别是W1,H2的基,则 存在R"的一组基B,使得B={BUB2} 答:否,如是R中平面x+x2=0,是R中平面x-x2=0 B1={(1,-1.0),(00)},B2={(10,0,0,2) 12.设在线性空间(F)中,向量B是{a1…,ar}的线性组合,但不 是{a1n…,an}的线性组合,证明 ar)=L(x12…,a1B) 答 B=ka1+…k-xn1+k,a,k≠0,→ a,可用a12…a-1,残线性表示→a12…1-1,B与ax1…,a等价。 13.若{a1a2a3,a4}线性相关,但其中任意三个向量线性无关,则 存在一组全不为零的数λ,A2,,4,使得 入a1+Aa2+3ax3+Aa4=0. a1+12a2+A2a3+a4=0.,…,全不为零,若一个如x1=0 则a1,a2,ax线性相关,若两个如3=4=0,则a1,a2线性相关 →a12a2,a3线性相关,如三个为0,同理,矛盾。 16.证明:若向量a可经向量组{ax1…a}线性表示,则表示法唯 的充要条件是{ax1…;a}线性无关 证明: 若有a=ka1+…+k,an=la1+…+la,则 (k1-1)ax1+…+(k,-lan=0, a1…,a,线性无关台→k1=l1…k=l 17.在线性空间(F)中,对于给定的一个向量组{a1…an},如 何判断它是否是V(F)的一组基向量.如果已知dim=n,又如 何判断{a1…,an}是否是V(F)的一组基向量.什么是有限维 线性空间的维数? 含,{a1,…an线性无关:B∈V,阿经a1,…a线性表示; 若dmV=n,ax1…,a线性无关即为基向量。 18.求下列线性空间的维数及其一组基(向量) (1)全体二元复数向量在复数域上构成的线性空间(8) 设 { , } B = 1 2 是 2 R 的一组基, 则 { , } 1 +2 1 −2 也是 2 R 的 一组基. 答：是。因为 0. 1 1 1 1  − (9) 一个有限维线性空间只含有有限个子空间. 答：否，如过原点的平面，其上过原点的直线。 (10) * 如果 1 2 W ,W 是 n R 的两个子空间, 1 2 B ,B 分别是 1 2 W ,W 的基,则 存在 n R 的一组基 B, 使得 { }. B  B1  B2 答：否，如 {(1, 1,0 , 0 0 1)}, {(1,1,0 , 0 0 2)} 0, 0 1 2 1 2 3 1 2 2 3 1 ）（ ，， ）（ ，， 是 中平面 是 中平面 = − = + = − = B B W R x x W R x x 12. 设在线性空间 V (F) 中, 向量  是 { , , } 1  r 的线性组合, 但不 是 { , , } 1  r−1 的线性组合, 证明： ( , , , ) ( , , , ). L 1  r−1 r = L 1  r−1  答： r可用 r 线性表示 r 与 r等价。 r r r r r k k k k              , , , , , , , , , 0, 1 1 1 1 1 1 1 1 1     − − − −  = + +   13．若 { , , , } 1 2 3 4 线性相关, 但其中任意三个向量线性无关, 则 存在一组全不为零的数 1 2 3 4  , , , , 使得 0. 11 + 22 + 33 + 44 = 答： 线性相关，如三个为 ，同理，矛盾。 则 线性相关，若两个如 ，则 线性相关 全不为零 若一个如 , , 0 , , 0 , 0. , , 0 1 2 3 1 2 3 3 4 1 2 1 1 2 2 3 3 4 4 1 4 4                      = = + + + =  = 16．证明：若向量  可经向量组 { , , } 1  r 线性表示, 则表示法唯 一的充要条件是 { , , } 1  r 线性无关. 证明： , , , , . ) ( ) 0, , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 r r r r r r r r r k l k l k l k l k k l l  = = − + + − = = + + = + +      线性无关 （ 若有 则          17. 在线性空间 V (F) 中, 对于给定的一个向量组 { , , } 1  n , 如 何判断它是否是 V (F) 的一组基向量. 如果已知 dimV=n,又如 何判断 { , , } 1  n 是否是 V (F) 的一组基向量. 什么是有限维 线性空间的维数? 答： 若 线性无关 即为基向量。 线性无关； 可经 线性表示； dim , , , , { , , } , , , 1 1 1 n n n V n V            =   18. 求下列线性空间的维数及其一组基(向量)： (1) 全体二元复数向量在复数域上构成的线性空间