答:2;{(10),(0,1)} (3)全体二元复数向量在实数域上构成的线性空间 答:4;{(1,0),(0,1),(i10);(0,i)} 21.已知{ax1…,an}是线性空间(F)的一组基向量,如何求(F) 中任一向量关于这一基的坐标 解解方程xa1+…+x,αn=0,得X=(x1,…,xn) 23.已知R2的两组基为:{a,a2}和{e1,e2},其中 a1=(2,-1),a2=(54 e1=(,0),e2=(0.1)试求一个非零向量B∈R2,使B关于这两组基 有相同的坐标,并求这个B关于基{512}的坐标,其中 51=(-11),52=(,1) 解 解方程xa1+x2a2=xe1+x2,即x1(a1-e)+x2(a2-e2)=0, 得即X=(x,x),B=xe+x2e2=(-5);B=y2+y252; 得Y=(y,y2)=(3-2) 24.证明:{1,x-2,(x-2)2}是Fx3的一组基,并求 f(x)=a+bx+cx2关于这组基的坐标 x-2(x-2)=(1x,x2)01-2|=(xx)A 解:f(x)=(1x,x2)b=(1x,x2)Xx=(1,x-2(x-2)y Y=A X=(a+2b+4c, b+4c, c) 26.求下列子空间的交与和的维数及其一组基 W={(x,…x:)x x4=0} W2={(x,…xx-x2+x3-x4=0x-x2-x3+x=0}; 解=L(BAB2B,B=(1-1):,=010.-10):B=(10-) W2=Lax1a2)a1=(10.0);a2=(0,0,)y; W1+W2=L(BB2B3,a1a2)=L(B1B2a1a2)dm(W+2)=4 W∩W2=L(y)y=(-1-11是三个联立方程的解 加题。求W(R)={x…x+ax2+a2x3+a2x1=0的基和维数, 并将基扩充为R4的基 解:解空间=(a1,1,0,0)(-a20,10)r(-a,0.0,1))dmW=3,添加 e4=(1,0,0,0) 28.设WH2是线性空间V的两个子空间 dmW1=m,dmW2=n,m≤n, 证明:(1)dim(W∩W2)≤m;(2)dm(W+W2)≤m+n答：2; {(1,0), (0,1)} (3) * 全体二元复数向量在实数域上构成的线性空间. 答：4; {(1,0), (0,1)，(i,0); (0,i)} 21．已知 { , , } 1  n 是线性空间 V (F) 的一组基向量, 如何求 V (F) 中任一向量关于这一基的坐标？ 解 0, ( , , ) 1 1 n n 1 n 解方程x ++ x  = 得X = x  x 23. 已 知 2 R 的 两 组 基 为 ： { , } { , } 1 2 1 2   和 e e , 其 中 (2, 1), (5, 4), 1 = − 2 = − (1,0), (0,1). e1 = e2 = 试求一个非零向量 2   R , 使  关于这两组基 有相同的坐标 , 并 求 这 个  关于基 { , } 1  2 的坐标 , 其 中 ( 1,1), (1,1). 1 = −  2 = 解： ( , ) (3, 2) . , ( 5,1) ; ; , 0 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 T T T Y y y X x x x e x e y y x x x e x e x e x e = = − = = + = − = + + = + − + − = 得 得即 （ ， ） 解方程 即（ ） （ ） ，         24. 证明： {1, 2,( 2) } 2 x − x − 是 3 R[x] 的一组基 , 并 求 2 f (x) = a + bx + cx 关于这组基的坐标. 解： ( 2 4 , 4 , ) . ( ) (1. , ) (1. , ) (1, 2,( 2) ) , (1. , ) . 0 0 1 0 1 2 1 2 1 (1, 2,( 2) ) (1. , ) 1 2 2 2 2 2 2 T Y A X a b c b c c x x X x x Y c b a f x x x x x x x x x A = = + + + = = − −           = =           − − − − = − 26. 求下列子空间的交与和的维数及其一组基： 解 ( ), ( 1, 1,1,1)是三个联立方程的解。 ( , ) ( , );dim( ) 4; ( ), (1,1,0,0) ; (0,0,1,1) ; ( ), (1, 1,0,0) ; (1,0, 1,0) ; (1,0,0, 1) ; {( , , ) 0; 0}; {( , , ) 0}; 1 2 1 2 1, 2, 3 1, 2 1, 2 1, 2 1 2 2 1, 2 1, 2, 1 1, 2, 3 1, 2, 1, 2 1 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 4 1 2 3 4  = = − − + = = + = = = = = = − = − = − = − + − = − − + = = + + + =                      W W L W W L L W W W L W L W x x x x x x x x x x W x x x x x x T T T T T   加题。求 W(R) ={(x1 ,  , x4 ) x1 + a1 x2 + a2 x3 + a3 x4 = 0}的基和维数, 并将基扩充为 R4 的基. 解：解空间=L((-a1,1,0,0)T,(-a2,0,1,0)T,(-a3,0,0,1)T); dimW=3; 添加 e4=(1,0,0,0). 28. 设 1 2 W ,W 是线性空间 V 的 两 个 子 空 间 , dimW1 = m,dimW2 = n,m  n , 证明：(1) dim( ) W1 W2  m； (2) dim( ) . W1 +W2  m + n