证明:①∩形是W的子空间: (2)dm(W+W2)=dmW+dmW2-dm(W∩W2)≤m+n 29.设W是R的k维子空间(0<k<n),如何求W的补空间V 解:把的W基α1,.k扩大为R的基a1,.akak+,.cn则 L(ak+1….xn)是W的补空间 32.求与向量a1=(11-1)a2=(1-1,-11)a3=(2,13)都正交的单 位向量 解法1:设所求向量为=(x1,…,x4),由(aax)=0i=1,2,3,4,解非常组 x1+x2-x3+x4=0 x-x2-x3+x4=0得=-4,0,13单位化得a2=(-4,0-1,3√26 x1+x2+x3+3x4=0 解法2:取α使α1,α2,∝3,α线性无关,再正交化,单位化得0 35.a=(x12x2),B=(y,y2)∈R2,定义: (a, B)=ax y+bx y2+cx2y+dx y2 (其中a,b,c,d∈R),问:a,b,c,d满足什么条件时,(a,B)是R2上的 个内积 解:由(xB)=(B∞x),得b=c 由(aa)=ax2+2bxx2+cx2≥0,得△=4b2-4ac<0 38.求齐次线性方程组 2x,+x,+3 =0 0 3x;+x2+9x3-x1=0 的解空间S的正交补S 解:设α1=(2,1,3-1)2a2=(3,2.0,2)T,a3=(3,1,9,-1)T,则 S=L(a1, a2, a3F-L(a1, a2) 39.设W是R"的非平凡子空间,a∈W,证明:3B∈R使尸∈W1 且(a,B) a∈R=W由W→a=a1+a2(a1∈W0≠a2∈W,若a2=0,则 a=a2∈W),取β=a2(a,B)=(ax1+a2,a2)=(a2a2)≠0 40.设{1…,En}是n维欧氏空间V的一组单位正交基,证明 (1)如果β∈V,且(B,E;)=0(i=1,…n),则β=0 (2)如果B,B2∈V,且va∈,均有(B,a)=(B2,a)则B1=B2 解 (1)B=k1+…+knEn,(B,E)=k1=0(=1…mn)→B=0, 2)令月=B1-B2,由(1),B=0,得B=B2 41.设是n维欧氏空间中的一个固定的非零向量,证明: (1)W={a|(a,2)=0a∈}是V的一个子空间 证明:(1)a1,a∈W,(a1+α2,2)=0.an+a∈W,vk∈R,ka∈W证明： W W W W W W m n W W W (2 dim( + ) = dim + dim − dim( )  + 1 ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1   ） （） 是 的子空间； 29．设 W 是 n R 的 k 维子空间(0<k<n), 如何求 W 的补空间 V. 解： 把的 W 基1, k 扩大为 n R 的基1, k,k+1, n 则 L(k+1,n)是 W 的补空间 32. 求与向量1= (1,1, 1,1), (1, 1, 1,1), (2,1,1,3) − 2 = − − 3 = 都正交的单 位向量. 解法 1：设所求向量为=(x1, ,x4), 由(,i)=0(i=1,2,3,4),解非常组      + + + = − − + = + − + = 2 3 0 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 得=(-4,0,-1,3);单位化得0=(-4,0,-1,3)/26。 解法 2：取使1，2，3，线性无关，再正交化，单位化得0 35. 2 1 2 1 2  = (x , x ),  = (y , y )R , 定义： 1 1 1 2 2 1 2 2 (,) = ax y +bx y + cx y + dx y (其中 a,b,c,d  R ), 问： a,b,c,d 满足什么条件时, (, ) 是 2 R 上的 一个内积. 解：由(,)=(,),得 b=c; 由(,)= 2 0, 4 4 0. 2 2 1 2 2 2 ax1 + bx x + cx  得 = b − ac  38. 求齐次线性方程组      + + − = + − = + + − = 3 9 0. 3 2 2 0, 2 3 0, 1 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x 的解空间 S 的正交补 S ⊥ 解：设1=(2,1,3,-1)T,2=(3,2,0,-2 ) T,3=(3,1,9,-1)T,则 S ⊥=L(1,2,3)=L(1,2). 39. 设 W 是 n R 的非平凡子空间,  W , 证明： n    R 使 ⊥  W , 且 (, )  0. 解 ： ), ,( , ) ( , ) ( , ) 0. ( ,0 , 0 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 =  = = + =   =   = +    = ⊥ ⊥                   取 若 ，则 W R W W W W n 40. 设 { , , } 1 n    是 n 维欧氏空间 V 的一组单位正交基, 证明： (1) 如果  V , 且 ( , ) 0(i 1, ,n)   i = =  , 则  = 0. (2) 如果 , , 1 2 V 且  V , 均有 ( , ) ( , ), 1  = 2  则 . 1 = 2 解： (2) , (1), 0, . (1) ,( , ) 0( 1, ) 0; 1 2 1 2 1 1             = − = = = + + = = =  = 令 由 得 k  kn n i ki i n 41. 设  是 n 维欧氏空间中的一个固定的非零向量, 证明： (1) W = { | (, ) = 0, V} 是 V 的一个子空间. (2) dimW = n −1. 证明：(1)1,2W, (1+2, )=0. 1+2W; kR, kW