是V的一个子空间 (2)将扩充为V的正交基ξ,a1,…,an-1,则W=L(a1,…,anl) 补充题 1.设E是域F的一个子域 (1)证明:F关于自身的加法和乘法,构成一个E上的向量空间,并 (2)举例说明,E不必是F上的向量空间 (3)证明:若V是F上的一个向量空间,则V也是E上的一个向量 空间 证明:取F=R,E=Q(或F=C,E=R)F(E对加法,乘法封闭,满足 加乘运算率,是线性空间。E(F)不是线性空间(乘法不封闭)如 R(Q)是线性空间Q(R)不是线性空间V(F是线性空间则V(E)也是 线性空间,因为(E)对V(F)的加法,数乘封闭,满足加乘运算率。 2.设V是一个线性空间,W是V的子集证明:W是T的子空间 分L(W)=W 证“→”若W的基为a1,a2…;a,则W=L(x1,a12…,a,)=L(W) “∈'L(W)=W中元素对加法数乘封闭,是线性空间,是Ⅴ的子空间 3.设S1S2是线性空间V的两个子集证明: L(S∩S2)L(S)∩L(S2) 并在R中分别举出两个例子,使得上式中等号成立和等号不成立 设S∩S2={a1…an},B∈L(S1∩S2 B=ka1+…kan∈L(S1)∩L(S2) 证明:例S1={e2e},S2={e1e2};"="成立; 例2S1={e,e2+e},S2=,e2};L(S∩S2)=L(e1 L(S1)=L(S2)=L(e1e2)"="不成立 4.证明:若R2中的向量a=(a1,a2),B=(b1,b2)满足 ab1+a2b2=0,a+a2=b2+b2=1 则αB是R2的一组单位正交基 证明:(a,B=0,x=B=1,a,B是R2的一组单位正交基 5.设{a,B}是R2的一组基,又 +C2b, B=ca+c2B 证明:{ax,B是R2的基→c1c2-ci2C21≠0. 证明:C2-c121≠0分a,阿经,B线性表示, a,B与a,B等价,故a,B}也是基。 6.设向量组{a1,a2…a}线性无关,证明:在向量组 {B,a1,a2…,an}中至多有一个向量a(lsi≤r)可被其前面的i个向 量{B,a1,…-}线性表示 证明:若B,a1,a2,…a线性无关,没有a1可被其余向量线性表示; 若B,a1,a2…,a1线性无关(B≠0),而B,a,a2…,Gr线性相关,则是 V 的一个子空间. (2) 将扩充为 V 的正交基，1，，n-1,则 W=L(1，，n-1). 补 充 题 1．设 E 是域 F 的一个子域. (1) 证明：F 关于自身的加法和乘法, 构成一个 E 上的向量空间, 并 举一例. (2) 举例说明, E 不必是 F 上的向量空间. (3) 证明：若 V 是 F 上的一个向量空间, 则 V 也是 E 上的一个向量 空间. 证明：取 F=R, E=Q(或 F=C, E=R). F(E)对加法，乘法封闭，满足 加乘运算率，是线性空间。E(F)不是线性空间（乘法不封闭）如 R(Q)是线性空间;Q(R)不是线性空间.V(F)是线性空间,则 V(E)也是 线性空间,因为 V(E)对 V(F)的加法，数乘封闭，满足加乘运算率。 2． 设 V 是一个线性空间, W 是 V 的子集. 证明：W 是 V 的子空间  L(W ) = W. 证“”若 W 的基为 , , , , ( , , , ) ( ); 1 2  r 则W = L 1 2  r = L W “”L(W)=W 中元素对加法数乘封闭，是线性空间,是 V 的子空间. 3. 设 1 2 S ,S 是线性空间 V 的两个子集,证明： ( ) ( ) ( ), L S1 S2  L S1  L S2 并在 3 R 中分别举出两个例子, 使得上式中等号成立和等号不成立. 证明: 不成立； 例 例 成立； 设 ， ( ) ( ) ( , ), " " 2 { , }, { , }; ( ) ( ); 1 { , }, { , }; " " ( ) ( ) { }, ( ), 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 3 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 = = = = + = = = = = = +  =   L S L S L e e S e e e S e e L S S L e S e e S e e k k L S L S S S L S S r r r             4．证明：若 2 R 中的向量 ( , ), ( , )  = a1 a2  = b1 b2 满足 0, 1, 2 2 2 1 2 2 2 a1b1 + a2b2 = a1 + a = b + b = 则,是 R2 的一组单位正交基 证明：(,)=0, ==1, ,是 R2 的一组单位正交基. 5. 设 {,} 是 2 R 的一组基, 又 , .  = c11 + c12  = c21 + c22 证明： { ,} 是 2 R 的基 0. c11c22 −c12c21  证明： ， 与 ， 等价，故 ， 也是基。 ， 可经 线性表示， { } 0. , 11 22 12 21               c c − c c     6. 设 向 量 组 {   r , , , 1 2  } 线 性 无 关 , 证 明 ： 在 向 量 组 {    r , , , , 1 2  }中至多有一个向量 (1 i r) i   可被其前面的 i个向 量 { , , , }  1  i−1 线性表示. 证明：若    r , , , , 1 2  线性无关，没有i 可被其余向量线性表示； 若 1 2 1 , , , ,     i− 线性无关（0），而    i , , , , 1 2  线性相关，则