a可经{B,a1,…a线性表示。若存在 a(k>)可经{B,a12…12…a-线性表示, 设ax=aB+aa1+…+aαx-1,a≠0,否则a1,…a1线性相关, a=bB+ba1+…+ba-12b≠0,否则a12…c线性相关, aoboB=bo(ak akp=ao(a-ba b=a1-1) 又,a1…a线性无关,ba4=0,得b=0,矛盾 7.证明:ax1a2,…;ax(其中a1≠0)线性相关台存在一个 a(1<i≤r),使得a可以由a1a2…,ax线性表示,且表示法唯 证明 ax1≠0,无关,若a1,a2,…-线性无关,而a1,a2,…a线性相关, 则a,可经a1,…a线性表示,若a1=ka1+…k-a1-1=la1+…l-a-1 (k1-1)x1+…(k-1-l-1)x11=0,由1,a2…a线性无关,得 k,=l,Gj=1…,i-1),表示法唯一。 8.设VV2是线性空间V的两个非平凡子空间,证明:彐a∈V,使 a∈1和a∈V2同时成立,并在R中举一例 证明:若 3a1V2,但a∈l3a2gF但a2∈V,则a1+a2gV1且V2 用反证法:若∝1+a2∈V1,且a1∈V→a2∈V矛盾;同理 若a1+a2∈V2,且a2∈V2→a1∈V2,矛盾 10.设S1={a12…an}和S2={月2…,B}是向量空间V的两个线性 无关的子集,证明: (a1…a,B2…,B)线性无关分L(S)∩L(S2)=0} 证明 vy∈L(S)L(S2)y=∑k=∑1B ∑ka1-∑1月=0,a…a,B,…月线性无关,得k=1=0 (i=1,…s,j=1,…1)→y=0,L(S1)∩L(S2)={0 反之,L(S)∩L(S2)={0设∑ka+∑1B1=0,→k=1=0 axp…,a,B2…,月线性无关 1l.设WW2,,都是R的子空间,如果W三W2=W+形4,是否 必有 W1=W∩W2=(W∩W3)+(W∩W4) W=W∩W成立;W⌒W2=(1∩W3)+(W∩W4)不成立。 解:例:W2=R2,W3,W,W是R2上过原点的互异直线, W1=W∩W2≠W∩W3)+(W∩W4)={0}+{0}={0}i可经{,1 ,  ,i−1 }线性表示。 若存在 又 线性无关， 得 ，矛盾。 ， ，否则 线性相关， 设 否则 线性相关， 可经 线性表示 , , 0, 0 ( ) ( ) , 0 , , , 0, , , ( ) { , , , , } , 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 = = = − − − = − − − = + + +  = + + +   − − − − − − − − − b b a b b a a a b b b b b b a a a a k i k k k k k i i i i i i i k k k k k i k                                     7. 证明：   r , , , 1 2  ( 其 中 1  0 ) 线 性 相 关  存在一个 (1 i r) i   , 使得 i 可以由 1 2 1 , , ,    i− 线性表示, 且表示法唯一. 证明： 表示法唯一。 由 ， ， 线性无关，得 则 可经 ， 线性表示，若 无关，若 ， ， 线性无关，而 ， ， 线性相关， ( 1, , 1), ( ) ( ) 0, 0, 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 = = − − + − = = + = +  − − − − − − − − − − k l j i k l k l k k l l j j i i i i i i i i i i i i i                             8. 设 1 2 V ,V 是线性空间 V 的两个非平凡子空间, 证明：  V, 使 V1 和 V2 同时成立，并在 3 R 中举一例。 证明：若 若 且 ，矛盾。 用反证法：若 且 ，矛盾；同理 但 ； 但 ，则 且 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , , . V V V V V V V V V V V V +     +           +                 10． 设 { , , } S1 = 1  s 和 { , , } S2 = 1  t 是向量空间 V 的两个线性 无关的子集, 证明： ( , , , , , ) 1  s 1  t 线性无关 ( ) ( ) {0}.  L S1  L S2 = 证明： , , , , . ( ) ( ) {0}, 0, 0, 1, , ; 1, , , 0, ( ) ( ) {0}. 0 , , , , 0 ( ) ( ), , 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 ， 线性无关 反之， 设 （ ） ， ， 线性无关，得 由 s t j i j t j i j s i i j s t i j t j i j s i i j t j i j s i i L S L S k l k l i s j t L S L S k l k l L S L S k l                         = + =  = = = =  =  = − = = =    = =       = = = = = = 11. 设 1 2 3 4 W ,W ,W ,W 都是 3 R 的子空间, 如果 W1 W2 =W3 +W4 , 是否 必有 ( ) ( ) W1 =W1 W2 = W1 W3 + W1 W4 . 解： ( ) ( ) {0} {0} {0}. , , , ( ) ( ) 1 1 2 1 3 1 4 2 3 1 4 2 2 1 1 2 1 2 1 3 1 4 =   + = + = = =  = + W W W W W W W W R W W W R W W W W W W W W W      例： 是 上过原点的互异直线， 成立； 不成立