第4期 谢锡麟:“正本清源”在力学之数学及专业基础知识体系建立中的作用 我们可基于有限维 Euclid空间中有界闭集上的压缩映照定理(不动点定理)构造性地证明上述定 理①。然而,完备的赋范线性空间(亦为 Banach空间)中依然成立有有界闭集上的压缩映照定理。故对于 般赋范线性空间之间的映照,当值域空间为 Banach空间时仍成立有隐映照定理和逆映照定理,且分析 的思想和方法几乎完全一致于有限维 Euclid空间上的分析 例如,对于张量∈T(Rm),y∈T(R"),满足约束方程f(,y)=0∈T(R"),此处认为约束 方程具有足够的正则性。如果,存在Φ。∈T(R"),v。∈T(Rm),满足 1.f(Φ。,y0)=0 2.Dyf(垂。,y。)∈L(T(Rm),T(Rm))为可逆有界线性算子 则有,约束方程在(Φ。,y0)点附近确定了映照:y=g(Φ)∈T‘(R"),满足f(φ,g()=0∈T(R") 且有 D。f(重,g())+Dyf(中,g(重)Dg(φ)=0∈L(T(R),T(R))。 3知识体系架构:知识点及知识要素 对于一门知识体系,我们建议先以知识点为单位归纳知识体系,然后对每一知识点再归结为若干知识 要素,藉此清晰化和条理化知识体系;在教学中,我们可以知识点安排教学进度。以下列举我们在相关教 学研究与实践中的若干事例 3.1知识点事例:微积分中“无限小增量公式”② 对于函数局部性质的研究,微积分中所提供的主要方法为无限小增量公式 f(r) 亦即在x0点附近利用高阶多项式进行逼近。对此知识点,我们归纳如下的知识要素:①直接基于无限小 增量公式获得基本初等函数的多项式逼近。如:-1+∑x2+0(x”)。②复合函数极限定理。如 基于-x的逼近,可得1+x=1+>(-x2)2+0(x”)。③由f(x)逼近式,经“逐项求导”获得a(x) 的逼近式,经“逐项求积”获得的逼近式f(x)dx。④基于 Landau符号实践“抓住主要矛盾、忽略次要矛 盾”。如o(λ·x+o(x2))=0(x2),A∈R③等 作为应用事例,我们可有如下分析 cox-(=t+0(2)-+0()-(-+a(x)+0(-t+a(2) 2+0(x2)+0(x)=-2+o(x2) 一般而言,基于上述四个要素,我们能系统化地获得复杂函数的无限小增量公式。 3.2知识点事例:张量分析中“三维 Euclid空间中张量场场论恒等式推导”④ 连续介质力学中,我们常需要推导各种形式的张量场场论恒等式。对此,我们归纳如下的知识要素 ①多有著作基于隐映照定理或逆映照定理推岀逆映照定理或隐映照定理;然而,可基于压缩映照定理独立地证明隐映照定理和逆映 照定理,具体的技术性处理,张筑生著《数学分析新讲》(第2册)以及V.A. Zorich著“ Mathematical Analysis"(Vol.2)都有极其清晰的叙述, 且基本思想及方法基本一致, ②本知识点事例,基于张筑生著《数学分析新讲》(第2册)有关内容进行归纳;第④点由本 ③此关系式由本文归纳,将基本初等函数的多项式逼近结合复合函数极限定理,常常得到此关系式的左方形式;基于此关系就能得 以简化。需指出,有教程在具体问题处理过程中出现左方形式,但未提及必要的说明 ④本知识点事例,基于郭仲衡著《张量(理论和应用)》有关内容进行归纳;本文未有补充内容 o1994-2013CHinaAcademicJournalElectronicpUblishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net我们可基于有限维 Ｅｕｃｌｉｄ空间中有界闭集上的压缩映照定理（不 动 点 定 理）构 造 性 地 证 明 上 述 定 理①。然而，完备的赋范线性空间（亦为 Ｂａｎａｃｈ空间）中依然成立有有界闭集上的压缩映照定理。故对于 一般赋范线性空间之间的映照，当值域空间为 Ｂａｎａｃｈ空间时仍成立有隐映照定理和逆映照定理，且分析 的思想和方法几乎完全一致于有限维 Ｅｕｃｌｉｄ空间上的分析。 例如，对于张量 Φ∈Ｔｒ （瓗ｍ ），Ψ∈Ｔｓ （瓗ｍ ），满足约束方程ｆ（Φ，Ψ）＝０∈Ｔｔ （瓗ｍ ），此处认为约束 方程具有足够的正则性。如果，存在 Φ０∈Ｔｒ （瓗ｍ ），Ψ０∈Ｔｓ （瓗ｍ ），满足 １．ｆ（Φ０，Ψ０）＝０ ２．ＤΨｆ（Φ０，Ψ０）∈Ｌ（Ｔｓ （瓗ｍ ），Ｔｔ （瓗ｍ ））为可逆有界线性算子 则有，约束方程在（Φ０，Ψ０）点附近确定了映照：Ψ＝ｇ（Φ）∈Ｔｓ （瓗ｍ ），满足ｆ（Φ，ｇ（Φ））＝０∈Ｔｔ （瓗ｍ ） 且有 ＤΦｆ（Φ，ｇ（Φ））＋ＤΨｆ（Φ，ｇ（Φ））Ｄｇ（Φ）＝０∈Ｌ（Ｔｒ （瓗ｍ ），Ｔｔ （瓗ｍ ））。 ３ 知识体系架构：知识点及知识要素 对于一门知识体系，我们建议先以知识点为单位归纳知识体系，然后对每一知识点再归结为若干知识 要素，藉此清晰化和条理化知识体系；在教学中，我们可以知识点安排教学进度。以下列举我们在相关教 学研究与实践中的若干事例。 ３．１ 知识点事例：微积分中“无限小增量公式”② 对于函数局部性质的研究，微积分中所提供的主要方法为无限小增量公式 ｆ（ｘ）＝ ｃ０ ＋ ∑ ｎ ｋ＝１ ［ ］ ｃｋ（ｘ－ｘ０）ｋ ＋ｏ（（ｘ－ｘ０）ｎ ） 亦即在ｘ０ 点附近利用高阶多项式进行逼近。对此知识点，我们归纳如下的知识要素：①直接基于无限小 增量公式，获得基本初等函数的多项式逼近。如： １ １－ｘ＝１＋ ∑ ｎ ｋ＝１ ｘｋ ＋ｏ（ｘｎ ）。②复合函数极限定理。如 基于 １ １－ｘ的逼近，可得 １ １＋ｘ３＝１＋ ∑ ｎ ｋ＝１ （－ｘ３）ｋ ＋ｏ（ｘ３ｎ ）。③由ｆ（ｘ）逼近式，经“逐项求导”获得ｄｆ ｄｘ（ｘ） 的逼近式，经“逐项求积”获得的逼近式∫ｆ（ｘ）ｄｘ。④基于 Ｌａｎｄａｕ符号实践“抓住主要矛盾、忽略次要矛 盾”。如ｏ（λ·ｘｐ ＋ｏ（ｘｐ ））＝ｏ（ｘｐ ），λ∈瓗③等。 作为应用事例，我们可有如下分析 ｌｎｃｏｓｘ ＝ｌｎ １－ｘ２ ２ ＋ｏ（ｘ３ （ ）） ＝－ｘ２ ２ ＋ｏ（ｘ３）－１ ２· －ｘ２ ２ ＋ｏ（ｘ３ （ ））２ ＋ｏ －ｘ２ ２ ＋ｏ（ｘ３ （ ） （ ））２ ＝－ｘ２ ２ ＋ｏ（ｘ３）＋ｏ（ｘ４）＝－ｘ２ ２ ＋ｏ（ｘ３） 一般而言，基于上述四个要素，我们能系统化地获得复杂函数的无限小增量公式。 ３．２ 知识点事例：张量分析中“三维 Ｅｕｃｌｉｄ空间中张量场场论恒等式推导”④ 连续介质力学中，我们常需要推导各种形式的张量场场论恒等式。对此，我们归纳如下的知识要素 第４期 谢锡麟：“正本清源”在力学之数学及专业基础知识体系建立中的作用 ９４５ ① ② ③ ④ 多有著作基于隐映照定理或逆映照定理推出逆映照定理或隐映照定理；然而，可基于压缩映照定理独立地证明隐映照定理和逆映 照定理，具体的技术性处理，张筑生著《数学分析新讲》（第２册）以及 Ｖ．Ａ．Ｚｏｒｉｃｈ著“ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＡｎａｌｙｓｉｓ”（Ｖｏｌ．２）都有极其清晰的叙述， 且基本思想及方法基本一致。 本知识点事例，基于张筑生著《数学分析新讲》（第２册）有关内容进行归纳；第④点由本文补充。 此关系式由本文归纳，将基本初等函数的多项式逼近结合复合函数极限定理，常常得到此关系式的左方形式；基于此关系就能得 以简化。需指出，有教程在具体问题处理过程中出现左方形式，但未提及必要的说明。 本知识点事例，基于郭仲衡著《张量（理论和应用）》有关内容进行归纳；本文未有补充内容