548 力学季刊 第33卷 有的知识发展新的知识 2.1辐射性发展事例:映照可微性 映照可微性的实质为由于自变量变化而引起的因变量的变化可由线性映照近似,且误差为一阶无穷 小量;“导数”以及“微分”则按映照的类型具有相应的表现形式。上述映照的可微性刻画需要自变量空间 及值域空间均为赋范线性空间。本文按此统一认识列举力学中涉及的主要映照类型如下 §1.有限维 Euclid之间的向量值映照:f(x):Rm3x→f(x)∈R”,其可微性定义为 f(x+h)=f(x)+(x)(h)+0(11-),此处(x)∈L(R,R” 引入R上范数:|年|=√(,m,则有 r(x+h)=(x)+D(x)·h+0(1h1)∈R,此处D(x)=「9厂(x)1∈Rx0 §2.张量场映照:(x):R"→3x→更(x)仝(x)g⑧g⑧g(x)∈T(R),此处以R"上三阶 张量为例,其可微性定义为 (x+h)=p(x)+(x)(h)+0(|h|g-),此处(x)∈L(R",r(R“) 引入T2(R")上范数:④|(a",△√⊙=√④,则有 (x+h)=(x)+V西(x)g、⑧g②g(x)·h2+o(h|a) 中(x)+[V,(x)g,②g②gA⑧g(x)]·[hg1(x)]=:重(x)+(V)(x)·H∈T(R") 此处(x)(h)=(更⑧V)(x)·h,H:=hg(x)为物理空间中的位移。可见,张量分析中张量场的梯 度实质为张量场的“导数”②。 §3.泛函:C(m)3f(x)→FL门△L(x,f(x),Vf(x)dr∈R,其可微性定义为 F(f+h)=F(f+(f(h)+o(h|c(a),此处(f)∈L(C(a),R 利用微分同方向导数间的关系:①(0)(h)=D.F(DAm5((+xh)-FCP∈R③,可基于微积分获 得变分临界点所需满足的 Lagrange-Euler方程 dr al(r, f (x),V/(r))ok(r, /(x), Vf(x))=0. 2.2辐射性发展事例:隐映照定理及逆映照定理 有限维 Euclid空间中的隐映照定理及逆映照定理(微分同胚局部存在性定理)可谓有限维 Euclid空 间上微分学中最为困难和最为重要的结论。上述定理,无论在数学领域还是力学领域都有诸多重要的应 用,例如前者为约束表示,后者为 Legendre变换提供了理论基础 ①可参见张筑生著《数学分析新讲》第2册。 ②按本文作者所知,尚未见张量分析有关教程或专著以此方法引入张量场梯度(其分量形式自然涉及协变导数的定义)。基于多次 教学实践,本文认为就 Euclid空间上的张量分析以张量场可微性引入张量场梯度显得较为严格;作为一般赋范线性空间上微分学的具体实 践,也易于获得张量场高阶导数等具体形式。另一方面,基于张量场的可微性,即可获得张量场方向导数(包含偏导数)的表达式,籍此可迺 过引入形式偏导数获得张量场的各种场论微分运算 ③相关教程中泛函变分的具体计算基本采用方向导数的形式;但指明此做法的依据为泛函微分等于相应的方向导数有助于正本清 源,按一般赋范线性空间上的微分学,任何赋范线性空间之间映照的微分都等于相应的方向导数,且高阶微分的计算也表现为多次方向导 数的计算 o1994-2013CHinaAcademicJournalElectronicpUblishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net有的知识发展新的知识。 ２．１ 辐射性发展事例：映照可微性 映照可微性的实质为由于自变量变化而引起的因变量的变化可由线性映照近似，且误差为一阶无穷 小量；“导数”以及“微分”则按映照的类型具有相应的表现形式。上述映照的可微性刻画需要自变量空间 及值域空间均为赋范线性空间。本文按此统一认识列举力学中涉及的主要映照类型如下 §１．有限维 Ｅｕｃｌｉｄ之间的向量值映照：ｆ（ｘ）：瓗ｍ Ω瓡ｘ →ｆ（ｘ）∈瓗ｎ ，其可微性定义为 ｆ（ｘ＋ｈ）＝ｆ（ｘ）＋ｄｆ ｄｘ（ｘ）（ｈ）＋ｏ（｜ｈ｜瓗ｍ ），此处ｄｆ ｄｘ（ｘ）∈Ｌ（瓗ｍ ，瓗ｎ ） 引入瓗ｍ 上范数：｜ξ｜瓗ｍ ＝ 槡（ξ，ξ）瓗ｍ ，则有 ｆ（ｘ＋ｈ）＝ｆ（ｘ）＋Ｄｆ（ｘ）·ｈ＋ｏ（｜ｈ｜瓗ｍ ）∈瓗ｎ ，此处 Ｄｆ（ｘ）＝ ｆα ｘ［ ］ ｉ（ｘ） ∈瓗ｎ×ｍ ① 。 §２．张量场映照：Φ（ｘ）：瓗ｍ Ω瓡ｘ →Φ（ｘ）Φｉ·ｋ ·ｊ （ｘ）ｇｉｇｊ ｇｋ（ｘ）∈Ｔ３（瓗ｍ ），此处以瓗ｍ 上三阶 张量为例，其可微性定义为 Φ（ｘ＋ｈ）＝Φ（ｘ）＋ｄΦ ｄｘ（ｘ）（ｈ）＋ｏ（｜ｈ｜瓗ｍ ），此处ｄΦ ｄｘ（ｘ）∈Ｌ（瓗ｍ ，Ｔ３（瓗ｍ ））。 引入 Ｔ３（瓗ｍ ）上范数：｜Φ｜Ｔ３（瓗ｍ ） 槡Φ⊙Φ＝ Φｉｊｋ 槡 Φｉｊｋ，则有 Φ（ｘ＋ｈ）＝Φ（ｘ）＋ｌΦｉ·ｋ ·ｊ （ｘ）ｇｉｇｊ ｇｋ（ｘ）·ｈｌ ＋ｏ（｜ｈ｜瓗ｍ ） Φ（ｘ）＋［ｐΦｉ·ｋ ·ｊ （ｘ）ｇｉｇｊ ｇｋｇｐ （ｘ）］·［ｈｌ ｇｌ（ｘ）］＝：Φ（ｘ）＋（Φ）（ｘ）·Ｈ∈Ｔ３（瓗ｍ ） 此处ｄΦ ｄｘ（ｘ）（ｈ）＝（Φ）（ｘ）·ｈ，Ｈ：＝ｈｌ ｇｌ（ｘ）为物理空间中的位移。可见，张量分析中张量场的梯 度实质为张量场的“导数”②。 §３．泛函：Ｃｐ （Ω）瓡ｆ（ｘ）→Ｆ［ｆ］∫Ω Ｌ（ｘ，ｆ（ｘ），ｆ（ｘ））ｄτ∈瓗，其可微性定义为 Ｆ（ｆ＋ｈ）＝Ｆ（ｆ）＋ｄＦ ｄｆ（ｆ）（ｈ）＋ｏ（｜ｈ｜Ｃｐ （Ω）），此处ｄＦ ｄｆ（ｆ）∈Ｌ（Ｃｐ （Ω），瓗）。 利用微分同方向导数间的关系：ｄＦ ｄｆ（ｆ）（ｈ）＝ＤｈＦ（ｆ）ｌｉｍλ→０ Ｆ（ｆ＋λ·ｈ）－Ｆ（ｆ） λ ∈瓗③，可基于微积分获 得变分临界点所需满足的 Ｌａｇｒａｎｇｅ－Ｅｕｌｅｒ方程 ｄ ｄｘ Ｌ ｆ ［ ］ （ｘ，ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）） －Ｌ ｆ（ｘ，ｆ（ｘ），ｆ（ｘ））＝０。 ２．２ 辐射性发展事例：隐映照定理及逆映照定理 有限维 Ｅｕｃｌｉｄ空间中的隐映照定理及逆映照定理（微分同胚局部存在性定理）可谓有限维 Ｅｕｃｌｉｄ空 间上微分学中最为困难和最为重要的结论。上述定理，无论在数学领域还是力学领域都有诸多重要的应 用，例如前者为约束表示，后者为Ｌｅｇｅｎｄｒｅ变换提供了理论基础。 ８４５ 力 学 季 刊 第３３卷 ① ② ③ 可参见张筑生著《数学分析新讲》第２册。 按本文作者所知，尚未见张量分析有关教程或专著以此方法引入张量场梯度（其分量形式自然涉及协变导数的定义）。基 于 多 次 教学实践，本文认为就 Ｅｕｃｌｉｄ空间上的张量分析以张量场可微性引入张量场梯度显得较为严格；作为一般赋范线性空间上微分学的具体实 践，也易于获得张量场高阶导数等具体形式。另一方面，基于张量场的可微性，即可获得张量场方向导数（包含偏导数）的表达式，籍此可通 过引入形式偏导数获得张量场的各种场论微分运算。 相关教程中泛函变分的具体计算基本采用方向导数的形式；但指明此做法的依据为泛函微分等于相应的方向导数有助于正本清 源。按一般赋范线性空间上的微分学，任何赋范线性空间之间映照的微分都等于相应的方向导数，且高阶微分的计算也表现为多次方向导 数的计算