第4期 谢锡麟:“正本清源”在力学之数学及专业基础知识体系建立中的作用 思想及方法;基于相对不同曲线坐标系下的分量间的转换关系定义张量, Riemann度量、 Riemann联络 ( Christoffel符号)以及协变微分等①。从思想和方法上而言,非 Euclid空间上的张量分析应涵盖 Euclid空 间上的张量分析。③按理性力学的观点研究连续介质力学,首先基于连续介质的几何形态区分 Euclid微 分流形以及非 Euclid微分流形,然后充分基于力学、物理、现代张量分析以及现代微分几何等的思想及方 法研究发生于连续介质之上的力学、物理,甚至化学、生理过程等②。 对于各门知识体系,我们先将其归类成若干“知识点”( knowledge point),而每个知识点又由若干“知 识要素”( knowledge element)组成。知识点为认识或处理相关问题所需的定义、结论以及相关研究思想 及方法的知识集合,具有一定独立性或功用性;知识要素即为上述知识集合的核心内容。以“知识点+知 识要素”组织知识体系,有助于澄清知识体系的发展脉络及发展特征。 2微分学知识体系的辐射性发展特征 众所周知,微积分的核心基础为极限,理解对某种“逼近行为”的刻画。进一步,微积分中的极限可以 归纳为三类:点列极限,包含级数定义;映照极限,包含可微性定义;部分和极限,主要用于各类积分定义。 从广度而言,微积分知识体系主要包括微分学、积分学以及级数;从深度而言,可以分类为一维 Euclid 空间R1、有限维 Euclid空间Rm以及一般赋范线性空间上的微分学 一般赋范线性空间上微积分 赋范线任空间之间极限R上微积分顺类测度论 眼R上微积分加可测集)积分 国数极限 定积分) 点列限 逼近行为 部分和 雨数导数 反函数定理 向量值映照可微性 隐映照、逆映定理 赋范线性空间之间快照可微性 赋范线性空间上隐映/逆映照定理 图3微积分知识体系的辐射式发展特征 Fig. 3 The sketch of the radical development property of the knowledge system of calculus 对于一维 Euclid空间上的微积分,我们可以归纳函数极限,函数导数,定积分,反函数定理等知识点 然而,这些知识点的归纳仍然适用于有限维 Euclid空间,甚至一般赋范线性空间上的微积分知识体系,如 图3所示。特别对于微分学而言,各层次上的知识体系具有高度的相似性,表现为知识点基本一致,且理 论发展的基本思想及方法基本一致。对此我们在教学中,充分反映“温故而知新”的认知效果,注重基于已 ①(俄)米先柯,(俄)福明柯著(张爱和译)《微分几何与拓扑学简明教程 相关知识体系的建立提供很好的借鉴。 ②李开泰,黄艾香著《张量分析及其应用》(科学出版社2004)涉及张量 流体机械等方面的应用 o1994-2013CHinaAcademicJournalElectronicpUblishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net思想及 方 法；基于相对不同曲线坐标系下的分量间的转换关系定义张量，Ｒｉｅｍａｎｎ度 量、Ｒｉｅｍａｎｎ联 络 （Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌ符号）以及协变微分等①。从思想和方法上而言，非Ｅｕｃｌｉｄ空间上的张量分析应涵盖Ｅｕｃｌｉｄ空 间上的张量分析。③按理性力学的观点研究连续介质力学，首先基于连续介质的几何形态区分 Ｅｕｃｌｉｄ微 分流形以及非 Ｅｕｃｌｉｄ微分流形，然后充分基于力学、物理、现代张量分析以及现代微分几何等的思想及方 法研究发生于连续介质之上的力学、物理，甚至化学、生理过程等②。 对于各门知识体系，我们先将其归类成若干“知识点”（ｋｎｏｗｌｅｄｇｅｐｏｉｎｔ），而每个知识点又由若干“知 识要素”（ｋｎｏｗｌｅｄｇｅｅｌｅｍｅｎｔ）组成。知识点为认识或处理相关问题所需的定义、结论以及相关研究思想 及方法的知识集合，具有一定独立性或功用性；知识要素即为上述知识集合的核心内容。以“知识点＋知 识要素”组织知识体系，有助于澄清知识体系的发展脉络及发展特征。 ２ 微分学知识体系的辐射性发展特征 众所周知，微积分的核心基础为极限，理解对某种“逼近行为”的刻画。进一步，微积分中的极限可以 归纳为三类：点列极限，包含级数定义；映照极限，包含可微性定义；部分和极限，主要用于各类积分定义。 从广度而言，微积分知识体系主要包括微分学、积分学以及级数；从深度而言，可以分类为一维 Ｅｕｃｌｉｄ 空间瓗１、有限维 Ｅｕｃｌｉｄ空间瓗ｍ 以及一般赋范线性空间上的微分学。 图３ 微积分知识体系的辐射式发展特征 Ｆｉｇ．３ Ｔｈｅｓｋｅｔｃｈｏｆｔｈｅｒａｄｉｃａｌｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｐｒｏｐｅｒｔｙｏｆｔｈｅｋｎｏｗｌｅｄｇｅｓｙｓｔｅｍｏｆｃａｌｃｕｌｕｓ 对于一维 Ｅｕｃｌｉｄ空间上的微积分，我们可以归纳函数极限，函数导数，定积分，反函数定理等知识点。 然而，这些知识点的归纳仍然适用于有限维 Ｅｕｃｌｉｄ空间，甚至一般赋范线性空间上的微积分知识体系，如 图３所示。特别对于微分学而言，各层次上的知识体系具有高度的相似性，表现为知识点基本一致，且理 论发展的基本思想及方法基本一致。对此我们在教学中，充分反映“温故而知新”的认知效果，注重基于已 第４期 谢锡麟：“正本清源”在力学之数学及专业基础知识体系建立中的作用 ７４５ ① ② （俄）米先柯，（俄）福明柯著（张爱和译）《微分几何与拓扑学简明教程》应对相关知识体系的建立提供很好的借鉴。 李开泰，黄艾香著《张量分析及其应用》（科学出版社 ２００４）涉及张量分析在流体机械等方面的应用