546 力学季刊 第33卷 R上微分学 a,b]上 C Riemann积分 Rm上 Jordan可测集上 Riemann积分 Rm上微分学 (R中微分流形上微分学 R上 Lebesgue测度及 Lebesgue积分 (R中微分流形上积分学) 一般赋范线性空间上微分学 般集类上测度及积分 图1微分学及积分学知识体系框架 Fig. 1 The frames of the knowledge systems with respect to differential calculus and integral (right) 对应于非数学以及数学专业),故我们可以设计系列课程(包括选修课)以完成上述知识体系的讲述口。随 着,我们对自然及非自然世界认识的深入,按上述特征提升我们的微积分知识体系具有深远的意义。 鉴于力学的主要研究隶属连续介质力学并因此而独立于物理学,故本文将现代张量分析以及基于 其上的连续介质力学作为力学之专业基础知识体系 基础理论课程 Euclid空间中的张量分析与微分几何 生物力学 固体力学 非 Euclid空间中的张量分析与微分几何 生物力学基础 固体力学基础 血液动力学 连续介质力学一般理论 弹塑性力学 (物质系统: Euclid流形,非 Euclid流形) 流体力学 涡量与涡动力学基础涡量空气动力学 图2现代张量分析以及基于其上的连续介质力学知识体系 Fig. 2 The frame of the knowledge systems with respect to dern tensor analysis with continuum mechanics based on it 连续介质力学可谓力学学科的基石。类比于单参数向量值映照对于质点以及刚体力学研究的基础性 作用,作为多重线性函数的张量对于研究连续介质的有限变形等力学行为也是极为适合的数学工具。以 微积分的思想及方法研究单参数向量值映照或者多重线性函数,构成了向量分析或者张量分析的主要内 容。对于现代张量分析以及基于其上的连续介质力学知识体系,如图2所示,我们注重以下特征①:①对 于 Euclid空间②上的张量分析,主要表现为将张量定义为多重线性函数,籍此基于简单张量获得张量的表 达形式,张量分量间的转换关系等;引入外积运算,以此研究二阶张量的各种代数性质等;基于一般赋范线 性空间上的微分学,研究张量场映照微分学以此开展一般曲线坐标系下张量场场论,研究一般张量映 照12。②对于非 Euclid空间( Riemann流形)③上的张量分析,主要表现为引入微分流形上微积分的基本 ①按本文作者相关教学研究与实践的现有程度,仅实现特征①;对特征②、③涉及的非 Euclid微分流形上的张量分析以及基于其上 的连续介质力学尚在进一步研究与实践中。此方面的研究可隶属“力学的几何化”。“力学几何化”的思想及方法在V.L. Arnold的系列著 作中有着系统且深入的阐述,包括《经典力学的数学方法》、“ Ordinary Differential Equation”,“ Partial Differential Equations'”,“ Topological ②本文中出现的 Euclid空间以及 Euclid微分流形指分析中 Rieman-Christoffel张量处处为零 ③本文中出现的非 Euclid空间以及非 Euclid微分流形指分析中 Riemann-Christoffel张量非处处为零 o1994-2013CHinaAcademicJournalElectronicpUblishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net图１ 微分学及积分学知识体系框架 Ｆｉｇ．１ Ｔｈｅｆｒａｍｅｓｏｆｔｈｅｋｎｏｗｌｅｄｇｅｓｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈｒｅｓｐｅｃｔｔｏｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｃａｌｃｕｌｕｓａｎｄｉｎｔｅｇｒａｌ（ｒｉｇｈｔ） 对应于非数学以及数学专业），故我们可以设计系列课程（包括选修课）以完成上述知识体系的讲述［７］ 。随 着，我们对自然及非自然世界认识的深入，按上述特征提升我们的微积分知识体系具有深远的意义。 鉴于力学的主要研究隶属连续介质力学并因此而独立于物理学，故本文将现代张量分析［８］ 以及基于 其上的连续介质力学［９－１１］ 作为力学之专业基础知识体系。 图２ 现代张量分析以及基于其上的连续介质力学知识体系 Ｆｉｇ．２ Ｔｈｅｆｒａｍｅｏｆｔｈｅｋｎｏｗｌｅｄｇｅｓｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈｒｅｓｐｅｃｔｔｏ ｍｏｄｅｒｎｔｅｎｓｏｒａｎａｌｙｓｉｓｗｉｔｈｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｍｅｃｈａｎｉｃｓｂａｓｅｄｏｎｉｔ 连续介质力学可谓力学学科的基石。类比于单参数向量值映照对于质点以及刚体力学研究的基础性 作用，作为多重线性函数的张量对于研究连续介质的有限变形等力学行为也是极为适合的数学工具。以 微积分的思想及方法研究单参数向量值映照或者多重线性函数，构成了向量分析或者张量分析的主要内 容。对于现代张量分析以及基于其上的连续介质力学知识体系，如图２所示，我们注重以下特征①：①对 于 Ｅｕｃｌｉｄ空间②上的张量分析，主要表现为将张量定义为多重线性函数，籍此基于简单张量获得张量的表 达形式，张量分量间的转换关系等；引入外积运算，以此研究二阶张量的各种代数性质等；基于一般赋范线 性空间上的微分学，研究张量场映照微分学以此开展一般曲线坐标系下张量场场论，研 究 一 般 张 量 映 照［１２］ 。②对于非 Ｅｕｃｌｉｄ空间（Ｒｉｅｍａｎｎ流形）③上的张量分析，主要表现为引入微分流形上微积分的基本 ６４５ 力 学 季 刊 第３３卷 ① ② ③ 按本文作者相关教学研究与实践的现有程度，仅实现特征①；对特征②、③涉及的非 Ｅｕｃｌｉｄ微分流形上的张量分析以及基于其上 的连续介质力学尚在进一步研究与实践中。此方面的研究可隶属“力学的几何化”。“力学几何化”的思想及方法在 Ｖ．Ｉ．Ａｒｎｏｌｄ的 系 列 著 作中有着系统且深入的阐述，包括《经典力学的数学方法》、“ＯｒｄｉｎａｒｙＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ”，“ＰａｒｔｉａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ”，“Ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ ＭｅｔｈｏｄｓｉｎＨｙｄｒｏｄｙｎａｍｉｃｓ”等。 本文中出现的 Ｅｕｃｌｉｄ空间以及 Ｅｕｃｌｉｄ微分流形指分析中 Ｒｉｅｍａｎｎ－Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌ张量处处为零。 本文中出现的非 Ｅｕｃｌｉｄ空间以及非 Ｅｕｃｌｉｄ微分流形指分析中 Ｒｉｅｍａｎｎ－Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌ张量非处处为零