第4期 谢锡麟:“正本清源”在力学之数学及专业基础知识体系建立中的作用 ents that are raised in the present paper. The related proof of the Stokes formula in calculus in the uni- fied form, the interpretation of the tensor fields gradient in tensor analysis in the point of view of differ ential and the definitions of the Lie-derivative in differential geometry viewed from field argument with the related results are our own cognitions Key words knowledge system; knowledge point; knowledge element; mathematical generality: calculus tensor analysis; differential geometry; continuum mechanics 17世纪,牛顿力学体系的建立标志着自然科学的兴起;18-19世纪,连续介质力学的诞生使力学发展 成为一门内容丰富并且获得广泛应用的基础科学。①马克思曾指出“力学是大工业的真正的科学基础”。 着科学技术的发展,现代力学的研究范畴从传统的刚性机械运动延拓至可变形的复杂介质运动,从纯机 械世界延拓至机械与物理、化学、生物学等过程的相互作用,甚至渗透至经济、管理、医学等领域②。钱学 森先生在2007年对中国力学学会成立五十周年之际的贺词中指出:“力学有两方面的服务对象:一是为工 程技术服务,另一是为发展自然科学服务,两者是相辅相成,相互促进的”。 力学学科的上述特征,使得力学知识体系别具特色,她既需要庞大而坚实的数学支撑,又需要联系丰 富而多样的自然现象。进而,力学知识体系不仅对研究者提升自身工作层次而且对人才培养等方面都具 有极其重要的意义 本文拟从力学之数学及专业基础知识体系,微积分知识体系的辐射性发展特征,知识体系架构(知识 点及知识要素),数学通识,数学知识体系同力学知识体系的关系等方面叙述我们持续性追求具有现代 化及一流化特征的力学知识体系所获得的阶段性认识 1力学之数学及专业基础知识体系 按通行的理论与应用力学专业(以下简称力学专业)的课程设置,力学知识体系可以分为数学以及专 业知识体系二部分。数学知识体系,主要包括:微积分及线性代数(核心基础)→①复变函数+复分析;② 常微分方程十偏微分方程;③概率论十数理统计;④微分几何;⑤实分析十泛函分析等。专业知识体系,主 要包括:理论力学及材料力学(核心基础)→①弹性力学十塑性力学;②流体力学+空气动力学;③振动力 学;④控制力学等。③ 鉴于微积分在整个数学知识体系中的核心地位,本文将微积分作为力学之数学基础知识体系。基于 对国内外具有一流水平的教程或专著的调研[④,我们通过图1表示微分学和积分学所能包含的主要内 容 相对于当前国内力学专业的必修内容,具有国内外一流水平的微积分教学表现为如下特征:①将微分 学由有限维 Euclid空间延拓至一般赋范线性空间③;②将积分学由 Riemann积分延拓至 Jordan测度、Leb eague测度意义下的积分⑥;③将微积分研究对象由可单个参数化的几何形态延拓至需多个参数化的几何 形态,亦即建立微分流形上的微积分⑦。需指出,国内现行微积分课程设置一般为一年或一年半制(一般 ①《中国力学学科发展战略研究报告(2011-2020年)》 ②李家春院士,周恒院士对复旦大学力学与工程科学系进行学术访问时都指出 ③参见《2011年理论与应用力学专业教育教学复旦大学硏讨会一学术信息整理》,谢锡麟、傅渊、杜俊、陈瑜整理;与会代表间交流,未 ④对于相关知识体系,本文参考文献部分仅列出笔者日常最常用的学习与参阅的教程或专著;尚有很多优秀著作未能列举 ⑤V.A. Zorich著“ Mathematical Analysis”的卷2,对一般赋范线性空间上的微分学给予了极其优越的叙述,相关理论的建立可以完 全类比与有限维 Euclid空间上的微分学,张筑生著《数学分析新讲》第2册,对有限维 Euclid空间上的微分学给予了极好叙述,且能非常好 地衔接与一般赋范线性空间上的微分学 。对于力学而言,可能我们既需要有限维 Euclid空间上的测度论也需要一般集类的测度论,对此周民强编著《实变函数论》(北京大 版社2009)以及夏道行、吴卓人、严绍宗、舒五昌编著《实变函数论与泛函分析》(上册)(高等教育出版社2010)分别有很好的叙述 ⑦V.A. Zorich著“ Mathematical Analysis"的卷1及卷2,对微分流形的基本定义有极好的叙述,指出对于图( chart)的定义可以既基 于微分同胚也可以基于秩定理 o1994-2013CHinaAcademicJournalElectronicpUblishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.netｍｅｎｔｓｔｈａｔａｒｅｒａｉｓｅｄｉｎｔｈｅｐｒｅｓｅｎｔｐａｐｅｒ．ＴｈｅｒｅｌａｔｅｄｐｒｏｏｆｏｆｔｈｅＳｔｏｋｅｓｆｏｒｍｕｌａｉｎｃａｌｃｕｌｕｓｉｎｔｈｅｕｎｉ－ ｆｉｅｄｆｏｒｍ，ｔｈｅｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｔｅｎｓｏｒｆｉｅｌｄ＇ｓｇｒａｄｉｅｎｔｉｎｔｅｎｓｏｒａｎａｌｙｓｉｓｉｎｔｈｅｐｏｉｎｔｏｆｖｉｅｗｏｆｄｉｆｆｅｒ－ ｅｎｔｉａｌａｎｄｔｈｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅＬｉｅ－ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｉｎｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｇｅｏｍｅｔｒｙｖｉｅｗｅｄｆｒｏｍｆｉｅｌｄａｒｇｕｍｅｎｔｗｉｔｈ ｔｈｅｒｅｌａｔｅｄｒｅｓｕｌｔｓａｒｅｏｕｒｏｗｎｃｏｇｎｉｔｉｏｎｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｋｎｏｗｌｅｄｇｅｓｙｓｔｅｍ；ｋｎｏｗｌｅｄｇｅｐｏｉｎｔ；ｋｎｏｗｌｅｄｇｅｅｌｅｍｅｎｔ；ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｇｅｎｅｒａｌｉｔｙ；ｃａｌｃｕｌｕｓ； ｔｅｎｓｏｒａｎａｌｙｓｉｓ；ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｇｅｏｍｅｔｒｙ；ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ １７世纪，牛顿力学体系的建立标志着自然科学的兴起；１８－１９世纪，连续介质力学的诞生使力学发展 成为一门内容丰富并且获得广泛应用的基础科学。① 马克思曾指出“力学是大工业的真正的科学基础”。 随着科学技术的发展，现代力学的研究范畴从传统的刚性机械运动延拓至可变形的复杂介质运动，从纯机 械世界延拓至机械与物理、化学、生物学等过程的相互作用，甚至渗透至经济、管理、医学等领域②。钱学 森先生在２００７年对中国力学学会成立五十周年之际的贺词中指出：“力学有两方面的服务对象：一是为工 程技术服务，另一是为发展自然科学服务，两者是相辅相成，相互促进的”。 力学学科的上述特征，使得力学知识体系别具特色，她既需要庞大而坚实的数学支撑，又需要联系丰 富而多样的自然现象。进而，力学知识体系不仅对研究者提升自身工作层次而且对人才培养等方面都具 有极其重要的意义。 本文拟从力学之数学及专业基础知识体系，微积分知识体系的辐射性发展特征，知识体系架构（知识 点及知识要素），数学通识，数学知识体系同力学知识体系的关系等方面叙述我们持续性追求具有现代 化及一流化特征的力学知识体系所获得的阶段性认识。 １ 力学之数学及专业基础知识体系 按通行的理论与应用力学专业（以下简称力学专业）的课程设置，力学知识体系可以分为数学以及专 业知识体系二部分。数学知识体系，主要包括：微积分及线性代数（核心基础）→①复变函数＋复分析；② 常微分方程＋偏微分方程；③概率论＋数理统计；④微分几何；⑤实分析＋泛函分析等。专业知识体系，主 要包括：理论力学及材料力学（核心基础）→①弹性力学＋塑性力学；②流体力学＋空气动力学；③振动力 学；④控制力学等。③ 鉴于微积分在整个数学知识体系中的核心地位，本文将微积分作为力学之数学基础知识体系。基于 对国内外具有一流水平的教程或专著的调研［１－６］④ ，我们通过图１表示微分学和积分学所能包含的主要内 容。 相对于当前国内力学专业的必修内容，具有国内外一流水平的微积分教学表现为如下特征：①将微分 学由有限维Ｅｕｃｌｉｄ空间延拓至一般赋范线性空间⑤；②将积分学由Ｒｉｅｍａｎｎ积分延拓至Ｊｏｒｄａｎ测度、Ｌｅｂ－ ｅｓｇｕｅ测度意义下的积分⑥；③将微积分研究对象由可单个参数化的几何形态延拓至需多个参数化的几何 形态，亦即建立微分流形上的微积分⑦。需指出，国内现行微积分课程设置一般为一年或一年半制（一般 第４期 谢锡麟：“正本清源”在力学之数学及专业基础知识体系建立中的作用 ５４５ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 《中国力学学科发展战略研究报告（２０１１－２０２０年）》。 李家春院士，周恒院士对复旦大学力学与工程科学系进行学术访问时都指出。 参见《２０１１年理论与应用力学专业教育教学复旦大学研讨会－学术信息整理》，谢锡麟、傅渊、杜俊、陈瑜整理；与会代表间交流，未 公开发表。 对于相关知识体系，本文参考文献部分仅列出笔者日常最常用的学习与参阅的教程或专著；尚有很多优秀著作未能列举。 Ｖ．Ａ．Ｚｏｒｉｃｈ著“ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＡｎａｌｙｓｉｓ”的卷２，对一般赋范线性空间上的微分学给予了极其优越的叙述，相关理论的建立可以完 全类比与有限维 Ｅｕｃｌｉｄ空间上的微分学。张筑生著《数学分析新讲》第２册，对有限维 Ｅｕｃｌｉｄ空间上的微分学给予了极好叙述，且能非常好 地衔接与一般赋范线性空间上的微分学。 对于力学而言，可能我们既需要有限维 Ｅｕｃｌｉｄ空间上的测度论也需要一般集类的测度论，对此周民强编 著《实 变 函 数 论》（北 京 大 学出版社 ２００９）以及夏道行、吴卓人、严绍宗、舒五昌编著《实变函数论与泛函分析》（上册）（高等教育出版社 ２０１０）分别有很好的叙述。 Ｖ．Ａ．Ｚｏｒｉｃｈ著“ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＡｎａｌｙｓｉｓ”的卷１及卷２，对微分流形的基本定义有极好的叙述，指出对于图（ｃｈａｒｔ）的定义可以既基 于微分同胚也可以基于秩定理