力学季刊 第33卷 Eddington张量同度量张量之间的关系:∈·∈=8104-040,此处∈为 Eddington张量的协变分 量, Kronecker符号,为度量张量的混合型分量。此关系式亦可称为置换符号同 Kronecker符号间的关 系。②Rici引理:度量张量、 Eddington张量对所有坐标曲线的偏导数为零,亦即V2∈(x),Vga(x)等 均为零。微分几何中,Rici引理对应现联络或共变微分同 Rieman度量相容。③ Euclid空间基本性质: 张量分量的协变导数可以交换次序,亦即V,V=VV,。微分几何中,Eucd性(空间的平坦性)对应 Riemann- Christoffel张量为零。 作为应用事例,我们对任意二阶张量场φ=中:g4⑧g作如下分析 V×(V×中)=V×(∈V:g⑧g2)=∈mV,(∈V)g,⑧g=∈”∈声V,(V中:,)g,⑧g (61-8;8)V,(V中.,)g,⑧g=V(V,)g,⑧g2一V,(V重:,)g4g V(V·④)一△更 按分析过程,可见上述张量场恒等式适用于任意阶张量场。一般而言,基于上述知识要素,我们可以顺利 地导出诸多张量场场论恒等式,且均在一般曲线坐标系下进行分析。一般教程或专著中,场论恒等式的推 导常常在 Cartesian坐标系下进行。基于上述知识要素,可见一般曲线坐标系下场论分析较 Cartesian坐 标系下分析并不增加任何复杂性;然而基于前者的分析,可以获得场论恒等式相对于一般曲线坐标系所诱 导的局部基的分量方程 3.3知识点事例:张量分析中“完整基下定义的张量梯度在非完整基下的表示”② 连续介质力学中常常需要获得张量场梯度(包括籍此衍生的各种场论运算)的分量表示,如在“单位正 交的球坐标系”下获得对流项、 Laplace项等的表达形式。按严格定义,曲线坐标系即为微分同胚,对此可 称此曲线坐标系完整系,其诱导的基称为完整基。故常用的“单位正交的球坐标系”并非真正的曲线坐标 系,而是对完整的“正交的球坐标系”所诱导的局部基经过单位化而得的单位正交基。此单位正交基并非 由曲线坐标(微分同胚)直接诱导,故为非完整基 对此知识点,其知识要素可归纳如下:①张量分量的坐标转换关系。以三阶张量为例,其基于完整系 定义的梯度为 V⑧中(x):=V囤:;(x)g⑧g,⑧g⑧gA(x)=:V((”(x)g"②g,⑧g"②g(x) 此处{g,}和{g}分别为完整基和非完整基,其间满足转换关系g:=Cmg1,g":=C"gV Φ:i(”(x)为张量场梯度在非完整基下的分量,满足张量分量的坐标转换关系V(o:l”(x)=C(n CiCia CK"(x)·VΦ(x)。②基本思想为构造“非完整基下的形式协变导数”,涉及形式偏导数、形 式 Christoffel符号以及形式协变导数,如下所示 形式导数:a0:=C(O2 acte) Christoffel号:r(a(x):= Cr CI c(a(x)·r4(x)-C。,C(a(x) (x) 协变导数:V(”(x):=am中:i”(x)+r(B”一r(m(”+r(m(m2 按上述计算过程获得的形式协变导数即为非完整基下的张量场梯度分量 ③完整基为正交基,非完整基为单位正交基情况,形式协变导数的简单形式 形式导数:a0:=Cna=1a Chis号:r(a4=r(mB=上.如业(a≠B),其余自然为零 协变导数:V〈0)重(a3y)(x):=a重(ay)(x)+T(0a)更(y)+P(4)更(a1y)+r(y)更(a ①此处i为哑标,遵循 Einstein求和约定, ②本知识点事例,基于郭仲衡著《张量(理论和应用)》有关内容进行归纳;本文未有补充内容 o1994-2013CHinaAcademicJournalElectronicpUblishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.netＥｄｄｉｎｇｔｏｎ张量同度量张量之间的关系：∈ｉｊｋ ·∈ｉｐｑ＝δｊ ｐδｋ ｑ－δｋ ｐδｊ ｑ ① ，此处∈ｉｊｋ 为 Ｅｄｄｉｎｇｔｏｎ张量的协变分 量，Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ符号δｊ ｐ 为度量张量的混合型分量。此关系式亦可称为置换符号同 Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ符号间的关 系。②Ｒｉｃｃｉ引理：度量张量、Ｅｄｄｉｎｇｔｏｎ张量对所有坐标曲线的偏导数为零，亦即ｌ∈ｉｊｋ （ｘ），ｌｇｉｊ（ｘ）等 均为零。微分几何中，Ｒｉｃｃｉ引理对应现联络或共变微分同 Ｒｉｅｍａｎｎ度量相容。③Ｅｕｃｌｉｄ空间基本性质： 张量分量的协变导数可以交换次序，亦即ｐ ｑ ＝ｑ ｐ。微分几何 中，Ｅｕｃｌｉｄ性（空 间 的 平 坦 性）对 应 Ｒｉｅｍａｎｎ－Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌ张量为零。 作为应用事例，我们对任意二阶张量场 Φ＝Φｋ ·ｔｇｋｇｔ 作如下分析 ×（×Φ）＝×（∈ｉｊｋｊ Φｋ ·ｔｇ ｉ ｇｔ ）＝∈ｒｓｉ ｓ（∈ｉｊｋｊ Φｋ ·ｔ）ｇｒｇｔ ＝∈ｒｓｉ ∈ｊｋｉｓ（ｊ Φｋ ·ｔ）ｇｒｇｔ ＝（δｒ ｊδｓ ｋ－δｓ ｊδｒ ｋ）ｓ（ｊ Φｋ ·ｔ）ｇｒｇｔ ＝ｊ（ｋΦｋ ·ｔ）ｇｊｇｔ －ｊ（ｊ Φｋ ·ｔ）ｇｋｇｔ ＝：（·Φ）－ΔΦ 按分析过程，可见上述张量场恒等式适用于任意阶张量场。一般而言，基于上述知识要素，我们可以顺利 地导出诸多张量场场论恒等式，且均在一般曲线坐标系下进行分析。一般教程或专著中，场论恒等式的推 导常常在Ｃａｒｔｅｓｉａｎ坐标系下进行。基于上述知识要素，可见一般曲线坐标系下场论分析较 Ｃａｒｔｅｓｉａｎ坐 标系下分析并不增加任何复杂性；然而基于前者的分析，可以获得场论恒等式相对于一般曲线坐标系所诱 导的局部基的分量方程。 ３．３ 知识点事例：张量分析中“完整基下定义的张量梯度在非完整基下的表示”② 连续介质力学中常常需要获得张量场梯度（包括籍此衍生的各种场论运算）的分量表示，如在“单位正 交的球坐标系”下获得对流项、Ｌａｐｌａｃｅ项等的表达形式。按严格定义，曲线坐标系即为微分同胚，对此可 称此曲线坐标系完整系，其诱导的基称为完整基。故常用的“单位正交的球坐标系”并非真正的曲线坐标 系，而是对完整的“正交的球坐标系”所诱导的局部基经过单位化而得的单位正交基。此单位正交基并非 由曲线坐标（微分同胚）直接诱导，故为非完整基。 对此知识点，其知识要素可归纳如下：①张量分量的坐标转换关系。以三阶张量为例，其基于完整系 定义的梯度为 Φ（ｘ）：＝ｌΦｉ·ｋ ·ｊ （ｘ）ｇ ｌ ｇｉｇｊ ｇｋ（ｘ）＝：（θ）Φ（α）·（γ） ·（β） （ｘ）ｇ（θ） ｇ（α）ｇ（β） ｇ（γ）（ｘ） 此处｛ｇｉ｝和 ｛ｇ（ｉ）｝分 别 为 完 整 基 和 非 完 整 基，其间满足转换关系 ｇ（θ）：＝Ｃｌ （θ）ｇｌ，ｇ（θ） ：＝Ｃ（θ） ｌ ｇ ｌ 。（θ） Φ（α）·（γ） ·（β） （ｘ）为张量场梯 度 在 非 完 整 基 下 的 分 量，满足张量分量的坐标转换关系（θ）Φ（α）·（θ） ·（β） （ｘ）＝Ｃｌ （θ） Ｃ（α） ｌ Ｃｊ （β）Ｃ（γ） ｋ （ｘ）·ｌΦｉ·ｋ ·ｊ （ｘ）。②基本思想为构造 “非完整基下的形式协变导数”，涉及形式偏导数、形 式Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌ符号以及形式协变导数，如下所示 形式导数：（θ）：＝Ｃｌ （θ）ｌ Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌ符号：Γ（θ） （α）（β）（ｘ）：＝Ｃ（θ） ｋ Ｃｉ （α）Ｃｊ （β）（ｘ）·Γｋ ｉｊ（ｘ）－Ｃｉ （α）Ｃｊ （β）（ｘ）·Ｃ（θ） ｊ ｘｉ （ｘ） 协变导数：（θ）Φ（α）·（γ） ·（β） （ｘ）：＝（θ）Φ（α）·（γ） ·（β） （ｘ）＋Γ（α） （θ）（μ）Φ（μ）·（γ） ·（β） －Γ（μ） （θ）（β）Φ（α）·（γ） ·（μ） ＋Γ（γ） （θ）（μ）Φ（α）·（μ） ·（β） 按上述计算过程获得的形式协变导数即为非完整基下的张量场梯度分量 ③完整基为正交基，非完整基为单位正交基情况，形式协变导数的简单形式 形式导数：（θ）：＝Ｃｌ （θ）ｌ＝ １ 槡ｇθθ ｌ Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌ符号：Γ〈αβα〉＝－Γ〈ααβ〉＝ １ 槡ｇββ ·ｌｎ 槡ｇαα ｘβ （α≠β），其余自然为零 协变导数：〈θ〉Φ〈αβγ〉（ｘ）：＝（θ）Φ〈αβγ〉（ｘ）＋Γ〈θμα〉Φ〈μβγ〉＋Γ〈θμβ〉Φ〈αμγ〉＋Γ〈θμγ〉Φ〈αβμ〉 ０５５ 力 学 季 刊 第３３卷 ① ② 此处ｉ为哑标，遵循 Ｅｉｎｓｔｅｉｎ求和约定。 本知识点事例，基于郭仲衡著《张量（理论和应用）》有关内容进行归纳；本文未有补充内容