第4期 谢锡麟:“正本清源”在力学之数学及专业基础知识体系建立中的作用 籍此,可正确、便捷地获得任意单位正交基下张量场梯度的分量表示形式。 34知识点事例:连续介质力学中一般形式的输运定理① 类似与微积分中的第一类、第二类曲线和曲面积分,我们将输运定理分成第一类和第二类。此知识点 的知识要素,归类如下:①当前构型下有向线元、有向面元的变化率,称为第二类变形率;线元、面元以及体 元的变化率,称为第一类变形率。上述二类变化率均由变形梯度刻画。②结合微积分中第一类、第二类曲 线、曲面积分以及体积分,即得第一类、第二类物质系统输运定理。③对于控制系统输运方程,将控制线 面以及体考虑为另一类连续介质,则上述分析仍然适用 具体内容,如下所述。 X 由2()=Fa(),此处F△x(5,1),(x)G(为变形梯度,现{x"}和(}分别为初始 物理构形和当前物理构形对应的曲线坐标系,{g(x)}和{GA()}分别为对应的局部基。基于 Arson公 式,可得第二类变形率② ◇有向线元变化 d(a,dX (λ),此处X(A)∈R为当前物理构形中曲线的向量值映照表示 ∈R为参数;L△VQV为速度梯度,V为速度。 ◇有向面元变化率9×9(x,)=B·「9×9(,)1,此处x(A,)∈R为当前物理构形中曲 面的向量值映照表示,(λ,P)∈R2为参数;B△Ⅰ一V⑧V为面变形梯度,△V·V为速度散度 籍此,将上述第二类变形率结合微积分中第二类曲线、曲面积分计算,即可得第二类输运定理 ◇第二类线输运 d*d=a*ax(A)d=」中*zd+」*(L,ld ◇第二类面输运 更大nda 8X、aX ★nda+更★(B·n)da 上述★表示任何合法的张量代数运算,如张量并⑧,点积、叉乘等。 将第二类变形率结合内积运算,可得第一类变形率 ◇线元模变化率 d x (入) x|a|( (入),此处x为单位切向量,D△(V ⑧V+V⑧V)为变形率 心面元模变化率×3(0)=m,B,n3×2(x,)此处n为单位法向量 ①本知识点事例,借鉴郭仲衡著《非线性弹性理论》有关内容进行归纳。本文认为,仅需基于变形梯度的相关性质并结合微积分中曲 线、曲面以及体积分的相关计算式,即可严格获得张量场的各种输运定理。郭仲衡著《非线性弹性理论》着重张量二点形式的表示;基于张 量的简单张量表示,本文认为张量的一点、二点或者多点表示形式并非本质,故在相关教学中充分利用《非线性弹性理论》中的有限变形理 论,而不强调张量的上述表示形式 ②此处借鉴郭仲衡著《非线性弹性理论》中变形梯度和线、面、体元素变换间的关系,本文相应地获得变形梯度同当前物理构形中线 面、体之向量值映照的相关导数或偏导数之间的关系(实际上述处理均利用向量值映照的链式求导法则,可自然“诱导出”变形梯度),由此 对输运定理的处理可完全融合于微积分中的相关处理,黄克智、薛明德、陆明万编著的《张量分析》(清华大学出版社,2003),直接按变形梯 度和线、面、体元素变换间的有关关系,“直接”推导了第二类形式的 Reynolds输运定理,但未提及本文中的第一类线及面输运形式 o1994-2013CHinaAcademicJournalElectronicpUblishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net籍此，可正确、便捷地获得任意单位正交基下张量场梯度的分量表示形式。 ３．４ 知识点事例：连续介质力学中一般形式的输运定理① 类似与微积分中的第一类、第二类曲线和曲面积分，我们将输运定理分成第一类和第二类。此知识点 的知识要素，归类如下：①当前构型下有向线元、有向面元的变化率，称为第二类变形率；线元、面元以及体 元的变化率，称为第一类变形率。上述二类变化率均由变形梯度刻画。②结合微积分中第一类、第二类曲 线、曲面积分以及体积分，即得第一类、第二类物质系统输运定理。③对于控制系统输运方程，将控制线、 面以及体考虑为另一类连续介质，则上述分析仍然适用。 具体内容，如下所述。 由ｄＸ ｔ ｄλ（λ）＝Ｆ·ｄＸ ０ ｄλ（λ），此处 Ｆｘｉ ξＡ （ξ，ｔ）ｇｉ（ｘ）ＧＡ （ξ）为变形梯度，现｛ｘｉ ｝和｛ξＡ ｝分别为初始 物理构形和当前物理构形对应的曲线坐标系，｛ｇｉ（ｘ）｝和｛ＧＡ （ξ）｝分别为对应的局部基。基于 Ｎａｒｓｏｎ公 式，可得第二类变形率②  有向线元变化率ｄＸ ｔ ｄλ（λ） · ＝Ｌ·ｄＸ ｔ ｄλ（λ），此处Ｘ ｔ （λ）∈瓗３ 为当前物理构形中曲线的向量值映照表示，λ ∈瓗为参数；ＬＶ为速度梯度，Ｖ 为速度。  有向面元变化率Ｘ ｔ λ ×Ｘ ｔ μ （λ，μ） · ＝Ｂ· Ｘ ｔ λ ×Ｘ ｔ μ ［ ］ （λ，μ） ，此处Ｘ ｔ （λ，μ）∈瓗３ 为当前物理构形中曲 面的向量值映照表示，（λ，μ）∈瓗２ 为参数；ＢθＩ－Ｖ 为面变形梯度，θＶ·为速度散度。 籍此，将上述第二类变形率结合微积分中第二类曲线、曲面积分计算，即可得第二类输运定理  第二类线输运 ｄ ｄｔ∫ｔ γ Φ＊τｄｌ＝ ｄ ｄｔ∫ β α Φ＊ｄＸ ｔ ｄλ（λ）ｄλ＝∫ｔ γ Φ＊τｄｌ＋∫ｔ γ Φ＊（Ｌ·τ）ｄｌ  第二类面输运 ｄ ｄｔ∫ｔ ∑ Φ＊ｎｄσ＝ ｄ ｄｔ∫Ｄλμ Φ＊ Ｘ ｔ λ ×Ｘ ｔ μ ［ ］ （λ，μ）ｄσ＝∫ｔ ∑ Φ＊ｎｄσ＋∫ｔ ∑ Φ＊（Ｂ·ｎ）ｄσ 上述＊表示任何合法的张量代数运算，如张量并，点积、叉乘等。 将第二类变形率结合内积运算，可得第一类变形率  线元模变化率 ｄＸ ｔ ｄλ · （λ）＝τ·Ｌ·τ ｄＸ ｔ ｄλ （λ）＝τ·Ｄ·τ ｄＸ ｔ ｄλ （λ），此处τ为单位切向量，Ｄ １ ２（Ｖ ＋Ｖ）为变形率；  面元模变化率 Ｘ ｔ λ ×Ｘ ｔ μ · （λ，μ）＝ｎ·Ｂ·ｎ Ｘ ｔ λ ×Ｘ ｔ μ （λ，μ），此处 ｎ 为单位法向量； 第４期 谢锡麟：“正本清源”在力学之数学及专业基础知识体系建立中的作用 １５５ ① ② 本知识点事例，借鉴郭仲衡著《非线性弹性理论》有关内容进行归纳。本文认为，仅需基于变形梯度的相关性质并结合微积分中曲 线、曲面以及体积分的相关计算式，即可严格获得张量场的各种输运定理。郭仲衡著《非线性弹性理论》着重张量二点形 式 的 表 示；基 于 张 量的简单张量表示，本文认为张量的一点、二点或者多点表示形式并非本质，故在相关教学中充分利用《非线性弹性理论》中的有限变形理 论，而不强调张量的上述表示形式。 此处借鉴郭仲衡著《非线性弹性理论》中变形梯度和线、面、体元素变换间的关系，本文相应地获得变形梯度同当前物理构形中线、 面、体之向量值映照的相关导数或偏导数之间的关系（实际上述处理均利用向量值映照的链式求导法则，可自然“诱导出”变形 梯 度），由 此 对输运定理的处理可完全融合于微积分中的相关处理。黄克智、薛明德、陆明万编著的《张量分析》（清华大学出版社，２００３），直接按变形梯 度和线、面、体元素变换间的有关关系，“直接”推导了第二类形式的 Ｒｅｙｎｏｌｄｓ输运定理，但未提及本文中的第一类线及面输运形式