52 第33卷 ◇体元模变化率「 8X ax ax λ,P,y) ax,9X.91(x,p,y) 籍此,将上述第一类变形率结合微积分中第一类曲线、曲面积分以及体积分计算可得第一类输运形式① ◇第一类线输运 dt 更dl (A)d=ddl+p(z·D·)dl ◇第一类面输运 d ax.a X (λ,p)da=dda+|deda (n·D·n)da t (x,t)+V·(VΦ)da Φ(n·D·n)d ◇体输运 (x,t)+·(WΦ) (x,t)dv+中(V·n)d 对于控制系统输运方程,将控制线、面以及体考虑为另一类连续介质,则上述分析仍然适用;具体输运 形式,仅需将上述物质输运定理中的速度更换为控制系统的速度 4数学通识 “数学通识”或者知识体系中的“工兵”。我们生活的世界丰富多彩,但上帝也许就用一样东西创造了 这些,这就是“数学机制”或“数学通识”( Mathematical generality)—以某种数学结构或性质为载体,比 定理等结论具有更高的归纳性,跨越不同课程甚至学科。值得指出,V.I. Arnold在其“ On Teaching Math ematics”中指出,诸如存在一个函数既控制所有四数平方和的表示也控制一个单摆的实际运动的事例对 于教学具有重要的意义,此种不同事物间的关系也能使我们领略到这个世界的和谐之美1 4.1数学通识事例:“同时对角化” 线性代数中有结论:对任意m阶对称正定阵A,任意对称阵B,存在非奇异阵G,满足GAG=I, GBG=A,此处I为单位阵,:=diag[A1,…,λm]为对角阵,且A;∈R(1≤i≤m),|B-A,A|=0。此 结论称为同时对角化。 振动理论中,保守系统在平衡态附近的运动刻画为:设{x}为曲线坐标,{g}为其度量张量的协变分 量,则有 系统动能T()=1g(x(t)x(t)2(1)=:1x.[gn](x(1)·x 系统势能U(1)≈1.a2(x(1)x2(1)x(1)=2(t).r8°U 2 axax ox'ox(x(t))·x(t)。 此处[g1x(1)为对称正定阵,[FaF](1)为对称阵。基于上述的同时对角化我们可以先简化 ①参阅本文参考文献中郭仲衡、黄筑平以及谢多夫的相关专著,均未提及第一类线、面体输运形式 o1994-2013CHinaAcademicJournalElectronicpUblishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net 体元模变化率 Ｘ ｔ λ，Ｘ ｔ μ，Ｘ ｔ ［ ］ ν （λ，μ，ν） · ＝θ Ｘ ｔ λ，Ｘ ｔ μ，Ｘ ｔ ［ ］ ν （λ，μ，ν）。 籍此，将上述第一类变形率结合微积分中第一类曲线、曲面积分以及体积分计算可得第一类输运形式①  第一类线输运 ｄ ｄｔ∫ｔ γ Φｄｌ＝ ｄ ｄｔ∫ β α Φ ｄＸ ｔ ｄλ （λ）ｄλ＝∫ｔ γ Φｄｌ＋∫ｔ γ Φ（τ·Ｄ·τ）ｄｌ  第一类面输运 ｄ ｄｔ∫ｔ ∑ Φｄσ ＝ ｄ ｄｔ∫Ｄλμ Φ Ｘ ｔ λ ×Ｘ ｔ μ （λ，μ）ｄσ＝∫ｔ ∑ Φｄσ＋∫ｔ ∑ Φθｄσ－∫ｔ ∑ Φ（ｎ·Ｄ·ｎ）ｄσ ＝∫ｔ ∑ Φ ｔ［ ］ （ｘ，ｔ）＋·（ＶФ）ｄσ－∫ｔ ∑ Ф（ｎ·Ｄ·ｎ）ｄσ  体输运 ｄ ｄｔ∫ｔ Ｖ Φｄｖ ＝ ｄ ｄｔ∫Ｄλμν Φ Ｘ ｔ λ，Ｘ ｔ μ，Ｘ ｔ ［ ］ ν （λ，μ，ν）ｄｖ＝∫ｔ Ｖ Φｄｖ＋∫ｔ Ｖ Φθｄｖ ＝∫ｔ Ｖ Φ ｔ［ ］ （ｘ，ｔ）＋·（ＶΦ）ｄσ＝∫ｔ Ｖ Φ ｔ （ｘ，ｔ）ｄｖ＋∮ｔ Ｖ Φ（Ｖ·ｎ）ｄｖ 对于控制系统输运方程，将控制线、面以及体考虑为另一类连续介质，则上述分析仍然适用；具体输运 形式，仅需将上述物质输运定理中的速度更换为控制系统的速度。 ４ 数学通识 “数学通识”或者知识体系中的“工兵”。我们生活的世界丰富多彩，但上帝也许就用一样东西创造了 这些，这就是“数学机制”或“数学通识”（ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＧｅｎｅｒａｌｉｔｙ）——— 以某种数学结构或性质为载体，比 定理等结论具有更高的归纳性，跨越不同课程甚至学科。值得指出，Ｖ．Ｉ．Ａｒｎｏｌｄ在其“ＯｎＴｅａｃｈｉｎｇＭａｔｈ－ ｅｍａｔｉｃｓ”中指出，诸如存在一个函数既控制所有四数平方和的表示也控制一个单摆的实际运动的事例对 于教学具有重要的意义，此种不同事物间的关系也能使我们领略到这个世界的和谐之美［１３］ 。 ４．１ 数学通识事例：“同时对角化” 线性代数中有结论：对任意 ｍ 阶 对 称 正 定 阵Ａ，任 意 对 称 阵 Ｂ，存 在 非 奇 异 阵 Ｇ，满 足 ＧＴ ＡＧ＝Ｉ， ＧＴ ＢＧ＝Λ，此处Ｉ为单位阵，Λ：＝ｄｉａｇ［λ１，…，λｍ ］为对角阵，且λｉ∈瓗（１≤ｉ≤ｍ），｜Ｂ－λｉＡ｜＝０。此 结论称为同时对角化。 振动理论中，保守系统在平衡态附近的运动刻画为：设｛ｘｉ｝为曲线坐标，｛ｇｉｊ｝为其度量张量的协变分 量，则有 系统动能 Ｔ（ｔ）＝１ ２ｇｉｊ（ｘ（ｔ））ｘｉ（ｔ）ｘｊ（ｔ）＝：１ ２ ｘＴ·［ｇｉｊ］（ｘ（ｔ））·ｘ； 系统势能 Ｕ（ｔ）＝１ ２· ２ Ｕ ｘｉ ｘｊ（ｘ（ｔ））ｘｉ（ｔ）ｘｊ（ｔ）＝：１ ２ｘＴ（ｔ）· ２ Ｕ ｘｉ ［ ］ ｘｊ （ｘ（ｔ））·ｘ（ｔ）。 此处，［ｇｉｊ］（ｘ（ｔ））为对称正定阵， ２ Ｕ ｘｉ ［ ］ ｘｊ （ｘ（ｔ））为对称阵。基于上述的同时对角化，我们可以先简化 ２５５ 力 学 季 刊 第３３卷 ① 参阅本文参考文献中郭仲衡、黄筑平以及谢多夫的相关专著，均未提及第一类线、面体输运形式