第4期 谢锡麟:“正本清源”在力学之数学及专业基础知识体系建立中的作用 动能和势能的形式,然后按 Lagrange- Euler方程便得到解耦的简谐振动方程:1。 微分几何中,m+1维 Euclid空间中光滑曲面的向量值映照刻画即为 ∑(x):R→D3x→∑(x)∈Rm+1 在其任意的非奇异点(亦即满足DΣ(x)∈R(m+1)xm列满秩),则可定义A△(DE)(x)·DE(x),B△ (DΣ)(x)·Dn(x)(此处n(x)为单位法向量场)分别为m阶对称正定阵和对称阵。基于同时对角化 不仅可定义平均曲率和Gaus曲率分别为H△∑A,,K△Ⅱx,而且可澄清切空间中存在m个相互 综上可见,如果我们所研究的事物中出现由对称正定阵以及对称阵决定的二次型,同时对角化就能起 到简化作用,藉此为获得相关结论提供实质性的支持。 4.2数学通识事例:“反对称阵及其对偶向量 微积分中众所周知的 Stokes公式为 a(x,y,z)·tdl= I rota(x,y,z)·nda, 此处设向量场为a(x,y,z)=(Pi+Qi+Rk)(x,y,z),曲面∑的边界为封闭曲线Cx。一般微积分教 材对 Stokes公式的证明,往往独立计算得 PO 类似地可计算其它二个线积分,最终将三者相加即得结论。对此种证法,向量场的旋度似乎仅是计算所得 结果,缺乏较为物理的解释。 我们给出 Stokes公式如下的证明,此处线积分项中a(x,y,z)·rdl作为整体进行处理。 ∑ 图4 Stokes证明所用的图示 Fig.4 The sketches utilized for the proof of Stokes formula a(r,y,x).dl=a(1).dC (t)dt [P, Q,R(t).( DE(C(). dCs(t)dt ax/au axa [P,Q,R](t)·ay/enay/(n(t),(t)·「21(t)d az/au az/av o1994-2013CHinaAcademicJournalElectronicpUblishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net动能和势能的形式，然后按Ｌａｇｒａｎｇｅ－Ｅｕｌｅｒ方程便得到解耦的简谐振动方程［１４，１５］ 。 微分几何中，ｍ＋１维 Ｅｕｃｌｉｄ空间中光滑曲面的向量值映照刻画即为 Σ（ｘ）：瓗ｍ Ｄｘ瓡ｘ →Σ（ｘ）∈瓗ｍ＋１ 在其任意的非奇异点（亦即满足 ＤΣ（ｘ）∈瓗（ｍ＋１）×ｍ 列满秩），则可定义 Ａ（ＤΣ）Ｔ（ｘ）·ＤΣ（ｘ），Ｂ－ （ＤΣ）Ｔ（ｘ）·Ｄｎ（ｘ）（此处 ｎ（ｘ）为单位法向量场）分别为 ｍ 阶对称正定阵和对称阵。基于同时对角化， 不仅可定义平均曲率和 Ｇａｕｓｓ曲率分别为 Ｈ ∑ ｍ ｉ＝１ λｉ，Ｋ ∏ ｍ ｉ＝１ λｉ，而且可澄清切空间中存在 ｍ 个相互 正交的主方向，沿某主方向的法截线的曲率恰为某特征值［１６］ 。 综上可见，如果我们所研究的事物中出现由对称正定阵以及对称阵决定的二次型，同时对角化就能起 到简化作用，藉此为获得相关结论提供实质性的支持。 ４．２ 数学通识事例：“反对称阵及其对偶向量” 微积分中众所周知的Ｓｔｏｋｅｓ公式为 ∮Ｃｘｙｚ ａ（ｘ，ｙ，ｚ）·τｄｌ＝∫ ∑ ｒｏｔａ（ｘ，ｙ，ｚ）·ｎｄσ， 此处设向量场为ａ（ｘ，ｙ，ｚ）＝（Ｐｉ＋Ｑｉ＋Ｒｋ）（ｘ，ｙ，ｚ），曲面 Σ 的边界为封闭曲线Ｃｘｙｚ。一般微积分教 材对Ｓｔｏｋｅｓ公式的证明，往往独立计算得 ∮Ｃｘｙｚ Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）ｉ·τｄｌ＝∫ ∑ Ｐ ｚ ｊ－Ｐ （ ） ｙ ｋ （ｘ，ｙ，ｚ）·ｎｄσ， 类似地可计算其它二个线积分，最终将三者相加即得结论。对此种证法，向量场的旋度似乎仅是计算所得 结果，缺乏较为物理的解释。 我们给出Ｓｔｏｋｅｓ公式如下的证明，此处线积分项∮Ｃｘｙｚ ａ（ｘ，ｙ，ｚ）·τｄｌ作为整体进行处理。 图４ Ｓｔｏｋｅｓ证明所用的图示 Ｆｉｇ．４ ＴｈｅｓｋｅｔｃｈｅｓｕｔｉｌｉｚｅｄｆｏｒｔｈｅｐｒｏｏｆｏｆＳｔｏｋｅｓｆｏｒｍｕｌａ ∮Ｃｘｙｚ ａ（ｘ，ｙ，ｚ）·τｄｌ＝∫ β α ａ（ｔ）·ｄＣｘｙｚ ｄｔ （ｔ）ｄｔ ＝∫ β α ［Ｐ，Ｑ，Ｒ］（ｔ）· ＤΣ（Ｃｕｖ（ｔ））·ｄＣｕｖ ｄｔ （ ） （ｔ）ｄｔ ＝∫ β α ［Ｐ，Ｑ，Ｒ］（ｔ）· ｘ／ｕ ｘ／ｖ ｙ／ｕ ｙ／ｖ ｚ／ｕ ｚ／ 熿 燀 燄 ｖ燅 （ｕ（ｔ），ｖ（ｔ））· ｕ ［ ］ｖ （ｔ）ｄｔ 第４期 谢锡麟：“正本清源”在力学之数学及专业基础知识体系建立中的作用 ３５５