APT理论的均衡证明 我们假定一个只有现在和未来两个时刻的两期模型,现在是确定的,未来 是不确定的。假定市场中有n种风险资产,其未来价格是n个随机变量 x,x2…xn;第0种资产是无风险资产,其未来价格x是确定值;n+1种资产 的当前价格为p(x0),p(x1),p(x1)…,p(xn)。这n1种资产的投资组合可用n+1 维向量=(,B,…来表示。那么投资组合的当前价格为 y=6P(xo)+8P(x)+.+8p(x 而投资组合的未来价格为 y=6x0+61x+…+bnxn 假设有一个投资者,他在当前的财富禀赋为°,未来的财富禀赋为a3。投 资者在现在时刻还持有一个初始资产组合0。他的效用是用当前消费°和未来 消费的期望效用函数u(=0,=2)来衡量的。投资者可以用禀赋购买金融资产,也 可以卖掉初始的投资组合,构造新的投资组合,以跨期分配消费而达到效用最 大化,因此,他面临的最优资产选择问题如下:求当前消费和持有的投资组 合,使得E[(=,-2)达到最大。问题可表述为:求资产组合O,使得 S1.=0=0-∑(-e)p(x) ∑x 假设n种风险资产的收益率=x1/p(x)之间相互独立。我们由此出发来推导 Ross的APT 个体最优状态的特征 命题1:问题(1)的解b及其相应的=0,2满足下列方程: 70 E[1(2,三 E[u(=0,2)1 APT 理论的均衡证明 我们假定一个只有现在和未来两个时刻的两期模型，现在是确定的，未来 是不确定的。假定市场中有 n 种风险资产，其未来价格是 n 个随机变量 1 2 ,,, n x x x " ；第 0 种资产是无风险资产，其未来价格 0 x 是确定值； n+1 种资产 的当前价格为 0 p( ) x ， 1 2 ( ), ( ), , ( ) p n x px px " 。这 n+1 种资产的投资组合可用 n+1 维向量 0 1 (,, , ) θ = θθ θ " n 来表示。那么投资组合的当前价格为 0 0 11 () () () n n y px px px = + ++ θ θ θ " 而投资组合的未来价格为 0 0 11 n n yx x x =θ + ++ θ θ " 假设有一个投资者，他在当前的财富禀赋为 0 ω ，未来的财富禀赋为 1 ω 。投 资者在现在时刻还持有一个初始资产组合 0 θ 。他的效用是用当前消费 0 z 和未来 消费 1 z 的期望效用函数 0 1 uz z (,)来衡量的。投资者可以用禀赋购买金融资产，也 可以卖掉初始的投资组合，构造新的投资组合，以跨期分配消费而达到效用最 大化，因此，他面临的最优资产选择问题如下：求当前消费 0 z 和持有的投资组 合 1 θ ，使得 0 1 E uz z ⎡ ⎤ (,) ⎣ ⎦ 达到最大。问题可表述为：求资产组合 1 θ ，使得 ( ) ( ) 0 1 0 0 10 0 11 1 0 max , . . ( ) n kk k k n k k k Euz z St z p x z x ω θθ ω θ = = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ =− − = + ∑ ∑ （1） 假设 n 种风险资产的收益率 /() jj j r x px = 之间相互独立。我们由此出发来推导 Ross 的 APT。 一、个体最优状态的特征 命题 1：问题(1)的解 1 θ 及其相应的 0 z ， 1 z 满足下列方程： 0 1 0 0 1 [ ( , )] [ ( , )] x y Eu z z r Eu z z = (2)