APT理论的均衡证明 我们假定一个只有现在和未来两个时刻的两期模型,现在是确定的,未来 是不确定的。假定市场中有n种风险资产,其未来价格是n个随机变量 x,x2…xn;第0种资产是无风险资产,其未来价格x是确定值;n+1种资产 的当前价格为p(x0),p(x1),p(x1)…,p(xn)。这n1种资产的投资组合可用n+1 维向量=(,B,…来表示。那么投资组合的当前价格为 y=6P(xo)+8P(x)+.+8p(x 而投资组合的未来价格为 y=6x0+61x+…+bnxn 假设有一个投资者,他在当前的财富禀赋为°,未来的财富禀赋为a3。投 资者在现在时刻还持有一个初始资产组合0。他的效用是用当前消费°和未来 消费的期望效用函数u(=0,=2)来衡量的。投资者可以用禀赋购买金融资产,也 可以卖掉初始的投资组合,构造新的投资组合,以跨期分配消费而达到效用最 大化,因此,他面临的最优资产选择问题如下:求当前消费和持有的投资组 合,使得E[(=,-2)达到最大。问题可表述为:求资产组合O,使得 S1.=0=0-∑(-e)p(x) ∑x 假设n种风险资产的收益率=x1/p(x)之间相互独立。我们由此出发来推导 Ross的APT 个体最优状态的特征 命题1:问题(1)的解b及其相应的=0,2满足下列方程: 70 E[1(2,三 E[u(=0,2)
1 APT 理论的均衡证明 我们假定一个只有现在和未来两个时刻的两期模型，现在是确定的，未来 是不确定的。假定市场中有 n 种风险资产，其未来价格是 n 个随机变量 1 2 ,,, n x x x " ；第 0 种资产是无风险资产，其未来价格 0 x 是确定值； n+1 种资产 的当前价格为 0 p( ) x ， 1 2 ( ), ( ), , ( ) p n x px px " 。这 n+1 种资产的投资组合可用 n+1 维向量 0 1 (,, , ) θ = θθ θ " n 来表示。那么投资组合的当前价格为 0 0 11 () () () n n y px px px = + ++ θ θ θ " 而投资组合的未来价格为 0 0 11 n n yx x x =θ + ++ θ θ " 假设有一个投资者，他在当前的财富禀赋为 0 ω ，未来的财富禀赋为 1 ω 。投 资者在现在时刻还持有一个初始资产组合 0 θ 。他的效用是用当前消费 0 z 和未来 消费 1 z 的期望效用函数 0 1 uz z (,)来衡量的。投资者可以用禀赋购买金融资产，也 可以卖掉初始的投资组合，构造新的投资组合，以跨期分配消费而达到效用最 大化，因此，他面临的最优资产选择问题如下：求当前消费 0 z 和持有的投资组 合 1 θ ，使得 0 1 E uz z ⎡ ⎤ (,) ⎣ ⎦ 达到最大。问题可表述为：求资产组合 1 θ ，使得 ( ) ( ) 0 1 0 0 10 0 11 1 0 max , . . ( ) n kk k k n k k k Euz z St z p x z x ω θθ ω θ = = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ =− − = + ∑ ∑ （1） 假设 n 种风险资产的收益率 /() jj j r x px = 之间相互独立。我们由此出发来推导 Ross 的 APT。 一、个体最优状态的特征 命题 1：问题(1)的解 1 θ 及其相应的 0 z ， 1 z 满足下列方程： 0 1 0 0 1 [ ( , )] [ ( , )] x y Eu z z r Eu z z = (2)
E[n(=,)r-6)=0 其中,F…分别为各证券(证券)的收益率。 证明:问题(1)的 Lagrange函数为 L=Eu=0,o3+> ∑明p(x)-=2-∑p(x 根据一阶条件,问题(1)的解及其相应的,彐满足以下条件 a0 0,j=0,1, 从而 E{(20,2)x]= Ev,(=0,2)x,]-4p(x,)=0,j=0,…,n 注意到,=x/p(x)则有 E{u,(,)x/p(x,)=E[u,(0,)=,j=0,…,n (6) 取j=0,考虑(4的结论(2);取j≠0并与取j=0时的(6)相减得结论(3)。 二、个体最优状态的特征 如果市场上有I个这样的投资者,即他们各自有禀赋a,资产组合和效 用函数(20,z);每个投资者面临着金融资产的选择问题:投资者各自作出最 优选择θ,使之为下列问题的最优解 l(=20, St ∑(e"-e")p(x) 如果市场上资产价格使得资产的需求等于供给:
2 0 1 0 [ ( , )( )] 0, 1, , E y j uz z r r j n −= = … (3) 其中 0 1 , , n rr r … 分别为各证券（证券）的收益率。 证明：问题(1)的 Lagrange 函数为 01 1 0 00 01 0 0 , () () n k k n n k k kk k k L Eu z p x z px ω θ λω θ θ = = = ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ + + −− ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ 根据一阶条件，问题（1）的解 1 θ 及其相应的 0 z ， 1 z 满足以下条件： 0 1 0, 0, 0,1, ; 0 j LL L j n z θ λ ∂∂ ∂ = == = ∂∂ ∂ … 从而 0 1 [(,)] Eu z z x x j = λ (4) 0 1 [ ( , ) ] ( ) 0, 0,1, , E y jj u z z x px j n − == λ … (5) 注意到 /() jj j r x px = 则有 01 01 [ ( , ) / ( )] [ ( , ) ] , 0,1, , E y jj y j u z z x p x Eu z z r j n = == λ … (6) 取 j = 0 ，考虑(4)的结论(2)；取 j ≠ 0并与取 j = 0 时的(6)相减得结论(3)。 二、个体最优状态的特征 如果市场上有 I 个这样的投资者，即他们各自有禀赋 0i ω ，资产组合 0i θ 和效 用函数 0 1 (,) iii uz z ；每个投资者面临着金融资产的选择问题：投资者各自作出最 优选择 1i θ ，使之为下列问题的最优解 ( ) ( ) 0 1 0 0 10 0 11 1 0 max , . . ( ) i ii n i i ii kk k k n ii i k k k Eu z z St z p x z x ω θθ ω θ = = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ =− − = + ∑ ∑ 如果市场上资产价格使得资产的需求等于供给：
∑=∑,k=0,1,n 那么称市场达到均衡。为简单起见,我们直接假设在这种情况下均衡存在。 命题2:如果对于定价p(x),p(x1)…,p(xn),b",b"2…,b形成市场均衡价 格,那么 i)∑o=∑,即当前消费并未动用证券市场中的资金。 i)">0,k=1…,n,i=1…,,即个人最优组合中没有买空且每种资产的 持有量均为正。 证明:i是直接的。 i)由(3)得 Cov[2(=0,21),n-m]=-E[u(2,1)E-moj=1,…,n E[y-o=-(E[ 0-1i ∑ 7=1 这里左端与无关。考虑到r之间相互独立,则对于k≠j,工=P(xk)k 与r;之间也相互独立。因此, 而由中值定理, (“∑)(“明)=(“E明明) 其中ξx∈(0,1)(可能依赖于x的取值)。这样我们就得到 E-=-(E[(,:1])co|(=∑嗅a+2可)引
3 0 1 1 1 , 0,1,..., I I i i k k i i θ θ k n = = ∑ ∑= = 那么称市场达到均衡。为简单起见，我们直接假设在这种情况下均衡存在。 命题 2：如果对于定价 0 1 ( ), ( ), , ( ) n p x px px … ， 11 12 1 , ,, I θ θ θ … n 形成市场均衡价 格，那么 i） 0 0 1 1 I I i i i i ω z = = ∑ ∑= ，即当前消费并未动用证券市场中的资金。 ii） 1 0, 1, , , 1, , i k θ >= = k ni I … … ，即个人最优组合中没有买空且每种资产的 持有量均为正。 证明：i)是直接的。 ii) 由(3)得
因为v0,这只可能所有可>0,即i)成立。 、APT的均衡解释 常用的APT多因子线性模型: ∑(-7)+ k=1 Covl;s小 0. Cov i 月=0,≠j, CovIfk,=0,k=1,…,K;j=1,2 E[=0,Varl≤口2,j=1,2 E 入E([f]-7f) 为什么可以认为E(E)=0对j都成立呢?实际上是说扰动项都“一致地小”。 假设市场中不同风险证券的数量n远远大于风险因子的个数K,并假设前K种 风险因子就是前K个风险证券(基准证券);个体风险证券的扰动比较小存在 个数量界线 =A+k(r3+K-70),j=K+1, 鉴于对投资者风险厌恶的假设,认为各自的风险厌恶程度也有一个界线,则有 03 El(20,21) 其中y取任意值,γ2为不依赖于y的常数。 那么,有下列定理。 定理79(APT)在上述假设下,对于有η种证券的市场模型中 如果对于定价p(x0),p(x1),,p(xn)来说,01,12,…,,形成n种证 券的市场均衡,定义市场组合系数 i a1 0p p(ak) 1∑=1kp()k=1.…,n
4 三、APT 的均衡解释 常用的 APT 多因子线性模型： 为什么可以认为 ()0 E j ε = 对 j 都成立呢？实际上是说扰动项都“一致地小”。 假设市场中不同风险证券的数量 n 远远大于风险因子的个数 K，并假设前 K 种 风险因子就是前 K 个风险证券（基准证券）；个体风险证券的扰动比较小存在一 个数量界线： (7) 鉴于对投资者风险厌恶的假设，认为各自的风险厌恶程度也有一个界线，则有 (8) 那么，有下列定理
那么,当 lim wg (n)=0, k 时,有 mE-m-∑-0)=mE=0.j=12…,n k=1 证明:由命题2的证明中用中值定理的过程以及注意到(8式,和命题2的i), 可以得到 Er-]≤ybp(x,)amr()≤ybp(x,)a2,j=1…,n 由(7式得 E[E]=E (ak-ro)],+k Iy'0IkP(x )o2<, law,(n) 说明: 1)K种风险因素之外的证券所占权重一致性地减少,则“非系统风险”即个体 的“扰动”风险可以忽略。 2)K种风险因素之外的证券所占权重一致性地减少,说明在组合分散化过程中, K种证券因素起到关键作用。 3)定理说明,K种风险因素可以构成市场的“基础解系”,用它来确定单个证 券收益是比较“精确”的 注:后面的表达式的推理还不十分消楚
5 证明：由命题 2 的证明中用中值定理的过程以及注意到(8)式，和命题 2 的 ii)， 可以得到 1 12 0 [ ] ( ) ( ) ( ) , 1, , ii ii E j jj j jj r r p x Var r p x j n −≤ ≤ = γθ γθ σ … 由(7)式得 1 2 , 0, , [ ] [ ( )] | | ( ) | | ( ) ii M E E r r px w n j jj k j k jj k j k j k jj k j k ε λ λ γθ σ λ α = −≤ ≤ ++ + + + + + 1 说明： 1）K 种风险因素之外的证券所占权重一致性地减少，则“非系统风险”即个体 的“扰动”风险可以忽略。 2）K种风险因素之外的证券所占权重一致性地减少，说明在组合分散化过程中， K 种证券因素起到关键作用。 3）定理说明，K 种风险因素可以构成市场的“基础解系”，用它来确定单个证 券收益是比较“精确”的。 1 注：后面的表达式的推理还不十分清楚