E(X)= b 女、b3-a3b2 3(b-a) 2s(6、 6-+ab+aa+b 12 Example3.19已知随机变量X的密度函数为 ax2+bx+c,0≤x≤1 f(x)= 0, 其他 又已知E(X)=0.5,D(X)=0.15,求a,b,C tion f(ax2+bx+c)ax=a+b+c-1 E(X)=2xa2++k=++=05 E(x2)=x(a++C=ab=D(X)+[E(x=015+05)2=04 解之得 a=12,b=-12,c=3 、方差的性质( he property of variance 1、设C是常数,则有D(c)=0 2、设c是常数,则有D(cX)=c2D(x) 3、设X,Y是相互独立的随机变量,则有D(X+Y)=D(X)+D(Y) 4、设X1,k2…X,是相互独立的随机变量,则D∑CX)=∑CD(x,) (以上4个性质的证明留给读者自己完成.) Example3.20设随机变量X服从二项分布B(n,p),求D(X) Solution由性质4设X1,X2,…,Xn独立同分布,且P(X1=1)=p,P(X1=0)=1-p 那么X=X1+X2+…+Xn服从B(n,p),因而D(X)=∑D(X) 又因为D(x)=E(X2)-E(X1)2=12×p+02×(1-p)-p2=p(1-p) 因此 D(X)=p(1-p) Example321设(x,Y)的概率密度函数为 f(x, y) ysx0≤x≤1 0其他 求D(X)及D(Y) Solution ≤x0≤x≤1 E(x)==/(x, y)drdy=rdx[ dy=f2x'ax E(r)=yf(x, y)dxdy=ax ydy=0 E(X2)=[xs(x, )drdy=rax dy=52x'do43 3( ) 3 ( ) 2 3 3 2 2 2 b ab a b a b a dx b a x E X b a + + = − − = − =  故 12 ( ) ) 2 ( 3 ( ) 2 2 2 2 b ab a a b b a D X − = + − + + = Example 3.19 已知随机变量 X 的密度函数为 2 0 1 ( ) 0 ax bx c x f x  + +   =   ， ， 其他 又已知 E(X ) = 0.5, D(X ) = 0.15，求 a,b, c ． Solution  + + = + + = 1 0 2 1 3 2 ( ) c a b ax bx c dx  = + + = + + = 1 0 2 0.5 4 3 2 ( ) ( ) a b c E X x ax bx c dx ( ) [ ( )] 0.15 (0.5) 0.4 5 4 3 ( ) ( ) 2 1 0 2 2 2 2 = + + = + + = + = + =  D X E X a b c E X x ax bx c dx 解之得 a = 12,b = −12,c = 3 ． 三、 方差的性质(The property of variance) 1、 设 c 是常数，则有 D(c) = 0 ； 2、 设 c 是常数，则有 ( ) ( ) 2 D cX = c D X ； 3、 设 X ，Y 是相互独立的随机变量，则有 D(X + Y) = D(X ) + D(Y) ； 4、 设 X X Xn , , , 1 2  是相互独立的随机变量，则   = = = n i i i n i D Ci Xi C D X 1 2 1 ( ) ( ) ． （以上 4 个性质的证明留给读者自己完成．） Example 3.20 设随机变量 X 服从二项分布 B(n, p) ，求 D(X ) ． Solution 由性质4,设 X X Xn , , , 1 2  独立同分布，且 P(X1 =1) = p,P(X1 = 0) =1− p ， 那么 X = X1 + X2 ++ Xn 服从 B(n, p) ，因而 = = n i D X D Xi 1 ( ) ( ) ． 又因为 ( ) ( ) ( ) 1 0 (1 ) (1 ) 2 2 2 2 2 D Xi = E Xi − E Xi =  p +  − p − p = p − p ， 因此 D(X ) = np(1− p) ． Example 3.21 设 (X,Y) 的概率密度函数为 1 ,0 1 ( , ) 0 y x x f x y     =   ， ， 其他 求 D(X ) 及 D(Y )． Solution D : y  x 0  x 1 3 2 ( ) ( , ) 2 1 0 2 1 0 = = = =   −  x x D E X x f x y dxdy xdx dy x dx ( ) ( , ) 0 1  0 − = = = x x D E Y yf x y dxdy dx ydy 2 1 ( ) ( , ) 2 1 0 3 1 0 2 2 2 = = = =   −  x x D E X x f x y dxdy x dx dy x dx