D(x)=E{X-E(X)}=E{X2-2XE(X)+[E(X)} =E(x2)-2E(X)E(X)+[E(X =E(X2)-[E(X 2.X是离散型随机变量,分布律为p=P(X=xk),k=1,2,…;则 D(X) E(I 3.X是连续型随机变量,它的分布密度为f(x),则 D(X)=Ix-E(X1'/(x)dx Example314(1)求例3.12中的方差D(X) (2)求例3.5中的方差D(x 154971 Solution (1) D(X)=E(X)-E(X] (2)E(X2)=12×02+22×03+32×0.5=5.9 DX)=E(X2)-[E(x)=59-(2.3)2=0.61 Example3.15设随机变量X服从正态分布N(u,a2),求D(X) Solution由于D(X)=E(X2)-[E(X) 而E(X)=,E(X2)=2+a2(例1),因而D(X)=G 正态随机变量的“3σ规则 P{-30<X≤+3}=d(3)-d(-3)=2(3)-1=0.9974 从这个数据看到,正态随机变量的值几乎完全落在了区间[-30,4+30] Example316设随机变量X服从参数为的泊松分布,求D(X) Solution由于D(X)=E(Xx2)-[E(X),而E(X)= E(X2)=∑k2e=∑ k 2(k+1) (k-1) k kI le-(Ae2+e2)=2+ 因而D(X)= Example317设随机变量X服从参数为A的指数分布,求D(X) Solution由于指数分布的密度函数为yy/te ≥0 x<0 E(X)=xf(x=hAxe"dr=-hx'dedt=-x2e o+f2xe" do 故D(X) 22 22 Example3.18设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布,求D(X) Solution由于均匀分布的密度函数为f(x)=1b-a a<x<b E(r=<*6 其他42 D X( ) = 2 E X E X {[ ( )] } − = { 2 ( ) [ ( )] } 2 2 E X − XE X + E X 2 2 = − + E X E X E X E X ( ) 2 ( ) ( ) [ ( )] 2 2 = − E X E X ( ) [ ( )] 2． X 是离散型随机变量，分布律为 pk = P(X = xk ), k =1,2,  ；则 D X( ) =   = − 1 2 [ ( )] k k E X pk x 3． X 是连续型随机变量，它的分布密度为 f (x) ，则 D X( ) =  + − [x − E(X)] f (x)dx 2 Example 3.14 (1) 求例 3.12 中的方差 D(X ) ． (2) 求例 3.5 中的方差 D(X ) ． Solution (1) D X( ) = ( ) − 2 E X 64 71 64 49 8 15 [ ( )]2 E X = − = ． (2) ( ) 1 0.2 2 0.3 3 0.5 5.9 2 2 2 2 E X =  +  +  = ， ( ) ( ) [ ( )] 5.9 (2.3) 0.61 2 2 2 D X = E X − E X = − = Example 3.15 设随机变量 X 服从正态分布 ( , ) 2 N   ，求 D(X ) ． Solution 由于 D X( ) = 2 2 E X E X ( ) [ ( )] − 而 2 2 2 E(X) = ,E(X ) =  + (例 11)， 因而 2 D(X) =  ． 正态随机变量的“ 3 规则”： P X { 3 3 }     −   + =  −  − =  − = (3) ( 3) 2 (3) 1 0.9974 从这个数据看到，正态随机变量的值几乎完全落在了区间 [ − 3, + 3 ]． Example 3.16 设随机变量 X 服从参数为  的泊松分布，求 D(X ) ． Solution 由于 D(X ) = 2 2 E X E X ( ) [ ( )] − ， 而 E(X ) = ,       = −  = −  =  = − −  − = − = + + = − = = 1 0 0 0 1 1 2 2 ! ! ! ( 1) ! ( 1)! ( ) k k k k k k k k k k k e k k e k k e e k k e k E X k                      = + = + − 2 e ( e e ) ， 因而 D(X ) =  ． Example 3.17 设随机变量 X 服从参数为  的指数分布，求 D(X ) ． Solution 由于指数分布的密度函数为 0 ( ) 0 0 x e x f x x   −   =    ， ，     + − + − + − + − + = = = − = − + 0 0 2 0 2 0 2 0 2 2 E(X ) x f (x)dx x e dx x de x e 2x e dx x x x x    + − + − + − = − = − + 0 0 0 2 2 2 xde xe e dx x x x    2 0 2 2 2    = − = + − x e 故 2 2 2 2 1 1 ( )    D X = − = ． Example 3.18 设随机变量 X 服从 [a,b] 上的均匀分布，求 D(X ) ． Solution 由于均匀分布的密度函数为 1 ( ) 0 a x b f x b a     =  −   ， ， 其他 ， 2 ( ) a b E X + =