第四章导数的应用 (3)如果有∫(x)>0(f(x)<0),则f(x)在[a,b]严格单调 (4)如果f(x)在[a,b]单调,则在区间[a,b]处处有 f∫'(x)≥0(f(x)≤0) 证明 (1)f(x)=g(x)→((x)-g(x)=0→f(x)-g(x)=常数, 即存在常数c,使f(x)≡g(x)+c (2)f(x)≥0→x1,x2∈[a,b],设x1<x2,存在介于x1和x2 之间的5,满足 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)→f(x2)-f(x1)≥0 (3)假定∫(x)在区间[ab]单调非减,Vx0∈(a,b), 当x>x0时,因为∫(x)单调非减,所以f(x)≥f(xo),因此 f(x)-f(o)>0=f(ro)=lim f(x)-f(x0) 0 例1:设f(x)在(-∞,+∞)有二阶导数并且f"(x)=≡0,求证 f(x)是一次函数 证明:(f(x)’=∫"(x)≡0→存在常数a,使得f(x)=a f"(x)-ax=(f'(x)-a)=0→存在b使得f(x)=ax+b 例2:求证当x>0时恒有x-x2<h(1+x) 证明:研究函数f(x)=l(1+x)-x+x2,我们有 f(x)=,-1+x,f"(x)=1- 当x>0,f”(x) <0→∫'(x)在[0,+∞)单调增 (1+x)2 f(x)↑及∫(0)=0,→当x>0时,f(x)>0→f(x)↑ 即,当x>0时,恒有x-x2<h(1+x) 例3:求证对于任意x>0,都有h(1+-)<~1 x x(x+1) 第四章导数的应用第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 (3) 如果有 f (x)  0 ( f (x)  0 ),则 f (x) 在 [a, b] 严格单调. (4) 如果 f (x) 在 [a, b] 单调,则在区间 [a, b] 处处有 f (x)  0 ( f (x)  0 ). 证明: (1) f (x)  g(x)  ( ( ) ( ))  0  f x − g x  f (x) − g(x)  常数, 即存在常数 c ,使 f (x)  g(x) + c . (2) f (x)  0  x1 ,x2 [a, b] ,设 1 2 x  x , 存在介于 1 2 x 和 x 之间的  ,满足 ( ) ( ) ( )( ) 2 1 2 1 f x − f x = f   x − x  f (x2 ) − f (x1 )  0 (3) 假定 f (x) 在区间 [a, b] 单调非减,  ( , ) x0  a b , 当 0 x  x 时, 因为 f (x) 单调非减, 所以 ( ) ( ) 0 f x  f x ,因此 0 ( ) ( ) 0 0  − − x x f x f x  0 ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0  − −  = → + + x x f x f x f x x x . 例 1: 设 f (x) 在 (−,+) 有二阶导数,并且 f (x)  0 ,求证 f (x) 是一次函数. 证明: ( f (x)) = f (x)  0  存在常数 a ,使得 f (x) = a . ( ) ( ( ) )  0  f  x − ax = f  x − a  存在 b 使得 f (x) = ax + b. 例 2: 求证当 x  0 时恒有 ln(1 ) 2 1 2 x − x  + x . 证明: 研究函数 2 2 1 f (x) = ln(1+ x) − x + x , 我们有 x x f x − + +  = 1 1 1 ( ) , 2 (1 ) 1 ( ) 1 x f x +  = − 当 x  0, 2 (1 ) 1 ( ) 1 x f x +  = −  0  f (x) 在 [0,+) 单调增. f (x)  及 f (0) = 0 , 当 x  0 时, f (x)  0  f (x)  . 即，当 x  0 时, 恒有 ln(1 ) 2 1 2 x − x  + x . 例 3 : 求证对于任意 x  0,都有 ( 1) 1 ) 1 ln (1 2 + +  x x x